数学 - 梯度 可导 可微

1. 可微定义
   1. 设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。
   2. 函数f是连续可微（continuously differentiable），如果导数f'(x)存在且是连续函数。
   3. Refer 1
   4. 连续可微函数被称作classC。一个函数称作classC如果函数的一阶、二阶导数存在且连续。更一般的，一个函数称作classC如果前k阶导数f′(x),f″(x), ...,f(x) 都存在且连续。如果对于所有正整数n，f存在，这个函数被称为光滑函数或称classC。
2. 可导定义
   1. 即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数
3. 可导或微区别
   1. 一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关
      1. 在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；
   2. 多元函数可微必可导，而反之不成立。
      1. 在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。
4. 偏导定义：Partial derivative
   1. 在 一元函数中， 导数就是函数的变化率。对于 二元函数研究它的“变化率”，由于 自变量多了一个，情况就要复杂的多，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x ₀,y ₀) 点处 沿不同方向的变化率
   2. 偏导数的表示符号为: ∂。偏导反映的是函数沿 坐标轴正方向的变化率
   3. x方向的偏导
      设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x ₀,y ₀)是其 定义域D 内一点。把 y 固定在 y ₀而让 x 在 x ₀ 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x ₀+△x,y ₀)-f(x ₀,y ₀)。
      如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的 极限存在，那么此 极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x ₀,y ₀)处对 x 的偏导数，记作 f' _x(x ₀,y ₀)或函数 z=f(x,y) 在(x ₀,y ₀)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y ₀看成 常数后， 一元函数z=f(x,y ₀)在 x ₀处的导数
   4. 偏导数求法
      当函数 z=f(x,y) 在 (x ₀,y ₀)的两个偏导数 f' _x(x ₀,y ₀) 与 f' _y(x ₀,y ₀)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x ₀,y ₀)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
      此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。
      按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
   5. 偏导数几何意义
      表示固定面上一点的 切线 斜率。
      偏导数 f' _x(x ₀,y ₀) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f' _y(x ₀,y ₀) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
   6. 高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f' _x(x,y) 与 f' _y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f" _xx，f" _xy，f" _yx，f" _yy。
      注意：
      f" _xy与f" _yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时， 求导的结果与先后次序无关。