连续，可导和可微

连续

判断函数在某一点是否连续，可以使用以下方法：

1. 函数值的定义: 要判断函数$f(x)$ 在某点$x=a$处是否连续，需要确保$f(a)$存在，也就是函数在$x=a$处有定义。

2. 左右极限的存在性：连续函数的一个特性是左右极限存在且相等。如果对于函数 $f(x)$，${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$ 和${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$存在，并且相等于$f(a)$，那么函数在$x=a$处连续。

3. 极限的性质：函数在某一点$x=a$处连续，意味着在该点附近的极限和函数值是一致的。也就是说，${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$。这意味着通过逼近点$a$的任何值，函数值都趋近于$f(a)$。

如果满足以上条件，函数在某一点$x=a$处就是连续的。如果有任何一个条件不满足，函数在该点就不是连续的。

满足1，2，不满足3

让我们看看一个例子：

考虑函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& \text{如果}x\ne 2\\ 5,& \text{如果}x=2\end{array}$

这个函数的定义分段明确表示了在 $x=2$处的情况。我们来检验这个函数在$x=2$处连续的情况：

1. 函数值的定义: 函数在 $x=2$ 处定义为$f(2)=5$，函数在该点有定义。

2. 左右极限的存在性：${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}{x}^2=4$。${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}{x}^2=4$。这两个极限都存在，并且等于$4$。

3. 极限的性质：${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{x\to 2}{x}^2=4\ne f(2)=5$。在$x=2$处的极限与函数值不相等。

因此，这个函数在$x=2$处满足函数值的定义和左右极限的存在性，但不满足极限的性质，所以在 $x=2$ 处不是连续的。

满足1，不满足2，3

考虑以下函数：

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& \text{如果}x<1\\ x+3,& \text{如果}x\ge 1\end{array}$

我们来检验这个函数在 ( x = 1 ) 处的连续性：

1. 函数值的定义: 函数在 ( x = 1 ) 处定义为$f(1)=1+3=4$，函数在该点有定义。

2. 左右极限的存在性：${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}2x=2$。${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x+3)=4$。这两个极限存在，但不相等。

3. 极限的性质：${\lim }_{x\to 1}f(x)$不存在，因为左右极限不相等。

所以，这个函数在$x=1$ 处满足函数值的定义，但不满足左右极限的存在性以及极限的性质，因此在 $x=1$ 处不是连续的。

满足2，不满足1和3

考虑以下函数：

$f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$

这个函数在 ( x = 0 ) 处的性质为：

1. 函数值的定义: 函数在 ( x = 0 ) 处未被明确定义（因为分母为零），即 ( f(0) ) 不存在。

2. 左右极限的存在性：${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{\sin (x)}{x}=1$。${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sin (x)}{x}=1$。这两个极限都存在且相等。

3. 极限的性质：由于函数值在$x=0$处未定义，所以无法比较函数值与极限。

因此，这个函数满足左右极限的存在性和极限的性质，但不满足函数值的定义条件。

可微性和可导性

可导性和可微性是微积分中两个重要的概念，它们描述了函数在某一点的平滑性和变化情况。

1. 可导性（Differentiability）：对于单变量函数，如果函数在某一点附近存在一个唯一的切线（即导数存在），那么这个函数在这一点是可导的。可导性表示函数在这点处光滑，没有尖点或间断。对于多变量函数，可导性通常表示偏导数存在，并且在这点附近可以用一个线性函数（切平面）来近似描述函数的变化。

2. 可微性（Continuously Differentiable）：可微性是可导性的扩展，它要求函数在某一点处不仅可导，而且导数在该点附近连续。可微性表示函数在这点附近不仅光滑，而且导数的变化也是连续的。

这两个概念在描述函数的平滑性和变化率时非常重要。可导性和可微性使我们能够理解函数在某一点处的变化率，这对于很多问题都至关重要，比如在优化问题中找到极值点、预测函数的行为、解微分方程以及用于建模物理学、工程学和经济学中等问题。

可导性和可微性可以用数学语言描述如下：

1. 可导性（单变量函数）：对于单变量函数$f(x)$，如果在某一点 $x=a$，存在有限的导数 $f^{\prime }(a)$，则称函数在点$x=a$处可导。数学表达式为：

   ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

   如果这个极限存在，则函数在$x=a$处可导。

2. 可微性（单变量函数）：如果函数$f(x)$在某一点$x=a$处可导，并且导数$f^{\prime }(x)$在$x=a$处连续，那么函数在$x=a$处是可微的。

对于多变量函数：

1. 可导性（多变量函数）：对于多变量函数$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，如果它在某一点 $(x_1=a_1,x_2=a_2,\dots ,x_n=a_n)$ 处的偏导数存在，则该函数在该点是可导的。

2. 可微性（多变量函数）：如果多变量函数在某一点处可导，并且各个偏导数在该点连续，则函数在该点处是可微的。

这些概念描述了函数在某一点的光滑性和变化率，对于分析函数的行为和性质非常重要。

为什么高数中这么重视可导或者可微

微积分中对可导性和可微性的重视源于它们在数学和现实世界中的广泛应用。这些概念提供了我们理解函数行为和变化率的工具，对于描述自然界中的现象、优化问题以及物理学、工程学等领域的建模都至关重要。

可导性（对于单变量函数是指可导，对于多变量函数是指偏导数存在）意味着函数在某个点处具有切线，也就是说，函数在该点是光滑的，没有突然的跳变或者间断。这种性质允许我们计算函数在某点的斜率或者变化率，这对于求解极值、优化问题以及解微分方程等都是至关重要的。

可微性是可导性的推广，指的是函数在某个点处不仅具有切线，而且在该点附近可以近似地用一个线性函数来表示。这种性质使得我们能够用微分来估计函数在局部的变化情况，进而应用于泰勒展开、最小二乘法等数学工具中。

这些概念的重要性在于它们提供了处理变化和趋势的数学工具，这些工具在自然界的描述、工程问题的解决以及科学研究中都具有非常广泛的应用。微积分中的可导性和可微性为我们提供了理解函数行为的重要工具，帮助我们建立模型、预测现象、优化问题，并在很多领域做出有价值的预测和决策。