考研数学每日一记(2)——不注意判断是否可导

首先，我们区分一个概念:一个函数n阶可导，那么它可以用n-1洛必达，说明到n-1阶的导函数连续；那么，什么时候可以用n次洛必达呢?
答：当n阶导函数连续的时候

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正经的分割线

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下面，我们来看看这道题:
$设f(x)二阶可导,f(0)=0,令g(x)=\{\begin{array}{c}\frac{f(x)}{x}x\ne 0\\ f(0{)}^{\prime }x=0\end{array}$

$(1)求g(x{)}^{\prime };(2)讨论g(x{)}^{\prime }在x=0处连续性$

我当时做的时候乍一看，题干中二阶可导，说明$f(x)$可以求两次导，对于$g(x{)}^{\prime }$来说，直接对$f(0{)}^{\prime }$再次求导，$f(0{)}^{\prime }$为常数再次求导为0不就完事儿了吗？立即推，这题真简单！

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凉凉的分割线

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    哦豁，凉凉！怎么又凉了呢？不是说好二阶可导的吗！
    嘿嘿，二阶可导，$f(x)$肯定是二阶可导啊，但是我们现在是求的$g(x{)}^{\prime }$，如果没有判断$g(x)$的连续性、可导性就直接求导，那结果很可能就是错的！所以，对于这种题，千万不要轻视它，认为它简单，其实它是在麻痹你！我们一定要抓住连续与导数的关系及其性质！
首先判断连续性

$\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f(0{)}^{\prime }=g(0)$

故$g(x)$在$x=0$处连续
其次判断可导性
当 $x\ne 0$ 时，$g(x{)}^{\prime }=(\frac{f(x)}{x}{)}^{\prime }=\frac{xf(x{)}^{\prime }-f(x)}{x^2}$

当 $x=0$ 时，$g(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x)}{x}-f(0{)}^{\prime }}{x-0}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x{)}^{\prime }-f(0{)}^{\prime }}{x}(洛)=\frac{1}{2}f(0{)}^{\prime \prime }$

    知道判断应该先判断连续性和可导性之后，做题肯定不成问题了，所以后面不再叙述。
By the way:由于wordpress还没时间去搭建，所以暂时用csdn记录考研数学的一些东西。希望能遇到志同道合的朋友一起交流考研！

路漫漫其修远兮,吾将上下而求索!