1 偏微分
在一元函数中的微分就是函数的切线：
其实这个空间曲线是 这个空间平面与
这个空间曲面的交线：我们就把这个切线称为
对于
的偏微分。理解了这个，就可以举一反三，所有
（
为常数）的平面与
的交线都是满足刚才说的特点：
这些交线上的点的切线都是 关于
的偏微分。
当然，如果 与
（
为常数）得到的交线，这些交线的切线就是
关于
的偏微分。
总结，偏微分就是：
- 固定
，变换
得到的就是
关于
- 固定
2 偏导数
偏微分理解了偏导数就好理解了，就是偏微分的斜率，现在你应该可以明白为什么我们在求 对于
的偏导数的时候，我们把
当作常数来看待了吧。
只是有一点需要说明，在三维空间中角度可以有不同的定义，计算斜率的时候我们是看下面这个 角：
总结，偏导数就是偏微分的斜率。
3 全微分
其实，不光是 或者
这样的平面可以和
相交得到交线，所有和
平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）。
这个平面相交得到的交线：
这个平面也可以：
如果这些切线都存在，并且这些切线（无数条）还都在同一个平面上（平面不是曲面），那么得到的这个平面就是全微分（也叫做切平面，或者说切空间）：
总结，全微分就是：
- 360°微分都存在
- 并且这些微分要共面，得到的就是全微分
4 全微分与偏导数、偏微分的关系
根据全微分的定义，如果全微分存在，那么偏导数、偏微分一定存在。
但是反过来不一定成立，即偏导数、偏微分存在，全微分不一定存在。因为偏导、偏微分只是 或者
方向的导数、微分，而全微分要求的是360°无死角。
举个例子，看这个 ：
我们考察这个函数在 点的全微分和偏微分的情况。
与
的交线是：
平面与曲面所交曲线与 轴重合：
在 点的微分（切线）很明显，就是交线（
轴）自身，因此关于
的偏微分存在。
但是 与
的交线是：
在 点形成了一个尖点，很显然此时的微分不存在：
因此，全微分不存在。
总结，全微分与偏导数、偏微分的关系：
- 全微分存在偏导数、偏微分一定存在
- 偏导数、偏微分存在全微分不一定存在