今天数模君带大家学习一下数学建模中的预测算法之马尔科夫预测。
目录
模型的含义
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
1. 状态
指某一件事在某个时刻（或时期）出现的某种结果。
2.状态转移过程
事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，称为状态转移。
3.马尔可夫过程
在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
4.状态转移概率
用于描述，在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，在下一时刻转移到其它状态的可能性大小。
为了求出每一个，一般采用频率近似概率的思想进行计算。
5.状态转移概率矩阵
假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即E1，E2，…，En。记为从状态Ei转变为状态Ej的状态转移概率
则矩阵
实例分析
题1：考虑某地区农业收成变化的3个状态，即“丰收”、“平收”和“歉收”。记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态，E3为“歉收”状态。表给出了该地区1975—2014年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。
将例题1中2014年的农业收成状态记为 =[0,1, 0] （因为2014年处于“平收”状态），将状态转移概率矩阵代入递推公式，求2015—2025年可能出现的各种状态的概率。
> library(markovchain)
> library(readxl)
> library(tidyverse)
> library(expm)
> library(diagram)
> setwd("D:/code")
> tb456=read_xlsx('markov.xlsx') %>%
+ mutate(state1=lag(state))
> #交叉统计，变量state1转为state的个数
> tss= table(tb456[-1,]$state1,tb456[-1,]$state)
> #返回交叉表的频率,即状态转移概率矩阵
> tmA=prop.table(tss,1)
> tmA
E1 E2 E3
E1 0.2000000 0.4666667 0.3333333
E2 0.5384615 0.1538462 0.3076923
E3 0.3636364 0.4545455 0.1818182> #可视化
> plotmat(tmA,pos = c(1,2),
+ lwd = 1, box.lwd = 2,
+ cex.txt = 0.8,
+ box.size = 0.1,
+ box.type = "circle",
+ box.prop = 0.5,
+ box.col = "light blue",
+ arr.length=.1,
+ arr.width=.1,
+ self.cex = .6,
+ self.shifty = -.01,
+ self.shiftx = .15,
+ main = "Markov Chain")
> #初始状态
> inital=matrix(c(0,1,0),nrow=1, byrow=TRUE)
> #预测下一年
> fc15=inital %*% tmA
> #预测下两年
> fc16=inital %*% tmA%*% tmA
> #预测第三年，tmA%^% 3相当于tmA%*% tmA%*%tmA
> fc17=inital %*% (tmA%^% 3)
> #要进行多年预测，因此编写一个函数
> myfunction=function(n){
+ inital %*% (tmA%^% n)
+ }
> mats=matrix(data = NA,nrow = 11,ncol = 3) %>%
+ data.frame()
> #预测2015-2025年，共11年，用一个dataframe来进行结果存储
> for (i in 1:11) {
+ mats[i,]=myfunction(i)
+ }
> mats$year=seq(2015,2025)
> colnames(mats)=c('E1','E2',"E3",'year')
> mats E1 E2 E3 year
1 0.5384615 0.1538462 0.3076923 2015
2 0.3024207 0.4148108 0.2827685 2016
3 0.3866687 0.3334778 0.2798534 2017
4 0.3586636 0.3589558 0.2823806 2018
5 0.3677005 0.3509551 0.2813444 2019
6 0.3648230 0.3534705 0.2817065 2020
7 0.3657336 0.3526792 0.2815872 2021
8 0.3654463 0.3529282 0.2816256 2022
9 0.3655368 0.3528498 0.2816134 2023
10 0.3655083 0.3528745 0.2816172 2024
11 0.3655173 0.3528667 0.2816160 2025> #-------利用markovchain包中的函数快速实现-------------
> #返回概率转移矩阵
> Ma=createSequenceMatrix(tb456$state,toRowProbs = T)
> #定义一个markov对象
> dtmcA <- new("markovchain",transitionMatrix=Ma,
+ states=c('E1','E2',"E3"),
+ name="MarkovChain A")
> #可视化
> plot(dtmcA)
> #定义一个dataframe存储结果，结果与mats相同
> mats1=matrix(data = NA,nrow = 11,ncol = 3) %>%
+ data.frame()
>
> for (i in 1:11) {
+ mats1[i,]=inital*(dtmcA^i)
+ }
> #终极状态概率
> steadyStates(dtmcA)最终结果：
E1 E2 E3
[1,] 0.3655151 0.3528686 0.2816163