# 差分约束系统

差分约束系统

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水题（bzoj 1731）

• 裸差分约束，n头牛【1，n】，(ml条这样的信息)对于两头有好感的牛距离不超过w,(md条这样的信息)对于两头有反感的牛距离至少w,且多头牛可以共享一个点，求最后一头牛和第一头牛距离最大是多少
• 按要求建图，使用bellman或者spfa

/*
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3

Sample Output
27
四只牛分别在0，7，10，27.

*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; 
struct edge{
    int from,cost,to;
}e[100000];
int k=0; 
void build(int x,int y,int w){
    //e[k].from=x,e[k].to=y,e[k].cost=w;
    e[k]=edge{x,w,y};
    k++;
}
int d[1005];
int n;
const int inf=0x7f7f7f7f; 
bool bellman(int s){
    memset(d,0x7f,sizeof(d));
    d[s]=0;
    bool update=0;
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        update=0;
        
        for(int j=0;j<k;j++){
            edge& es=e[j];
            if(es.from!=inf&&d[es.from]+es.cost<d[es.to]){
                d[es.to]=d[es.from]+es.cost;
                update=1;
                if(i==n)return 0;
            }
        }
        if(!update)return 1;
    }
    return 1;
} 
int main(){
    int ml,md;
    scanf("%d %d %d",&n,&ml,&md);
    int x,y,w;
    while(ml--){
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);//y-x<=w;建有向边x->y,
        build(x,y,w);   
    }
    while(md--){
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);//y-x>=w;x-y<=(-w)
        build(y,x,-w);
    }
    for(int i=2;i<n;i++)build(i,i-1,0);//多头牛共享一个点，建0边
    
    if(!bellman(1)){
        printf("%d",-1);
    }
    else{
        if(d[n]==inf)printf("%d",-2);
        else {
            for(int i=1;i<=n;i++){
                printf("%d ",d[i]);//打印可行解，题目答案即为d[n];
            }                      //这里没有题目要求输出
        }
    }
    return 0;
}

最短路算法

• 差分约束系统一般使用bellman和spfa求最短路，也可以用来求最长路径，只需将松弛操作从\(<\)改成\(>\)；

差分约束系统

• 条件：每个不等式只含两个变量，且系数为1和-1.

• 不等式建边：a-b<=c（一定要小于等于），a<=b+c,to<=from+cost,建立b->a的有向边

• 最大值最小值的理解：差分约束系统是将不等式合并成\[不等式约束下求首位距离最大值\\a-b<=c1\\a-b<=c2\\a-b<=c3\\......\\max(a-b)=min(c1,c2,...)\\相当于最短路径\]---------------------------------------------------------------------------\[不等式约束下求首位距离最小值\\a-b>=c1\\a-b>=c2\\a-b>=c3\\......\\min(a-b)=max(c1,c2,...)\\相当于最长路径\],

• 不等式标准化：(此处求两个点距离的最大值，如果求最小值则转化为\(>=\)求最长路径)

a-b>=c  ->   b-a<=-c;
a-b<c   ->   a-b<=c-1;
a-b>c   ->   b-a<-c   ->   b-a<=-c-1;
a-b=c   ->   a-b<=c&&a-b>=c

• 可行解：最大值（最小值）：有负（正）环时距离可以无限小（大），不可达时（两个点之间没有约束关系）距离无限大（小），有解的情况下d[i]为每个点对应的位置（一组可行解）

差分约束详解及金典模型

• 线性约束
• 区间约束的（d[i]表示（0，i）区间）
• 位置条件约束（二分+差分约束）

参考博客感谢博主