最短路——差分约束系统

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问题

已知一系列不等式

$$\left \{ \begin{array}{c} X_{i_1}-X_{j_1} \leq d_1 \\ X_{i_2}-X_{j_3} \leq d_2 \\ X_{i_3}-X_{j_3} \leq d_3 \\ ... \\ X_{i_k}-X_{j_k} \leq d_k \end{array} \right.$$
需要求解 $X_n-X_1$的最大值，即求最小D，使得 $X_n-X_1 \leq D$

分析

移项

$$\left \{ \begin{array}{c} X_{i_1} \leq d_1+X_{j_1} \\ X_{i_2} \leq d_2+X_{j_3} \\ X_{i_3} \leq d_3+X_{j_3} \\ ... \\ X_{i_k} \leq d_k+X_{j_k} \end{array} \right.$$

而最短路中
把X看作结点dis值，$d_k$看作边权，从$i$到$j$连接权值为$d$的边，使得$dis[i] \leq dis[j] +d$，正好满足X的关系

实现

当求$X_n-X_1$最大值时，建立最短路模型，将所有不等式划为$X_i \leq X_j + d_k$型式，从$j$到$i$连接权值为$d_k$的边（可能为负）。
当求$X_n-X_1$最小值时，建立最长路模型，将所有不等式划为$X_i \geq X_j + d_k$型式，从$j$到$i$连接权值为$d_k$的边。

无解情况：
1.有负权环（正权环），说明关系存在矛盾，无解
2.不存在路径，说明1与n没有关系，答案为无穷大