组合数学常用公式总结-更新中

• 小白总结，有误请大佬斧正

排列组合

排列

1. 无其他限制下，从n个物体种选择r个出来的所有排列情况为\(A(^r_n)=\frac{n!}{(n-r)!}\) r>n时\(A(^r_n)=0\)

2. 从n个物体种选择r个的圆排列为\(P(^r_n)=\frac{A(^r_n)}{r}\)

多重集的排列

1. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(\infty\)种（无限多重集），在这n种中取r个的排列为\(n^r\)

2. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当\(min({a_1,a_2,...a_n})>=r\)时，排列数依然为\(n^r\)

3. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,其全排列为\(\frac{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)!}{{a_1}!{a_2}!...{a_n}!}\)

4. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当\(min({a_1,a_2,...a_n})<r\)时,排列为\(\frac{r!}{r{a_1}!{a_2}!...{a_n}!}\)

组合

1. 无限制下，从n个物体选择r个物体的组合为\(C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), 亦写作\((^n_r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}\), r>n时，\(C(n,r)=0\)

多重集的组合

1. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(\infty\)种（无限多重集），在这n种中取r个的组合为\((^{n+r-1}_{r})=(^{n+r-1}{n-1})\)

2. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当\(min({a_1,a_2,...a_n})>=r\)时，组合数为\((^{n+r-1}_{r})=(^{n+r-1}{n-1})\)

3. 设n种元素每种互不相同,每种元素都有\(a_1,a_2,a_3...a_n\)种（有限多重集）,在这n种中取r个,当\(min({a_1,a_2,...a_n})<r\)时,组合为$$

二项式定理

• \((a+b)^n=\sum_0^nC(_n^i)a^ib^{n-i}\)

鸽巢原理

• n+1只鸽子飞向n个鸽巢，一定存在两只鸽子飞向了同一个鸽巢

生成函数篇

\((1-x)^{-m}=\sum_0^\infty{x^i(^{m+i-1}_{m-1})}\)