【总结】动态规划 or 组合数学解决棋盘（迷宫）路径问题（持续更新中）

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组合数C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1) 即对于第n个，不选和选

组合数代码实现：（n>20时）

（方法2的证明，拍的歪了emmm）

//方法1：O(n^2)
    int ans[maxn][maxn];
    int n=5,m=3;
    for(int i=1;i<=5;i++)
       ans[i][i]=ans[i][0]=1;//i个里面选i个和i个里面选0个
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i/2;j++)
        {
            ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i-1][j-1];
            ans[i][i-j]=ans[i][j];//避免再重复计算，直接赋值
        }
    cout<<ans[5][3]<<endl;
//方法2：O(m)
    long long res=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        res=res*(n-m+i)/i;
    cout<<res<<endl;
//两个输出结果都是10

• n*m大小的棋盘，每次都只能向下或者向右走一步，求从左上角到右下角共有多少条路

dp方法： dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

组合数方法：从左上角到右下角一共要走m+n-2步，这些步数里面有n-1个向下的步数，m-1个向右的步数

                        方法数：C(m+n-2,n-1) or C(m+n-2,m-1)

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
int main()
{
    //freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);
    int dp[10][10]={0};
    int n=2,m=2;
    //dp
    dp[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(!(i==1&&j==1))
             dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
    //组合数
    int ans1=1;
    for(int x=n;x<=m+n-2;x++)
        ans1*=x;
    int ans2=1;
    for(int x=1;x<=m-1;x++)
        ans2*=x;
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    cout<<ans1/ans2;
    return 0;
}

• n*m大小的棋盘，每次都只能向下或者向右走一步，且不经过点P，求从右下角到左上角共有多少条路

如图：

用组合数学的方法做：A->B-(A->P)*(P->B) 即c(12,5)-(c(6,3)*c(6,2)) 结果为A

如果也不能经过C，C在P的左下方且和P重合，方法数：A->B-（A->P）*(P->B)-(A->C)*(C->B)+(A->C)*(C->P)*(P->B)

• (稍微复杂一点) 寻宝路径那道题,路径的求取受到条件限制

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