『区间DP·树形结构转换』金字塔

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题目描述

虽然探索金字塔是极其老套的剧情，但是这一队 探险家还是到了某金字塔脚下。经过多年的研究，科 学家对这座金字塔的内部结构已经有所了解。首先， 金字塔由若干房间组成，房间之间连有通道。如果把 房间看做节点，通道看做边的话，整个金字塔呈现一 个有根树结构，节点的子树之间有序，金字塔有唯一 的一个入口通向树根。并且，每个房间的墙壁都涂有 若干种颜色的一种。

探险队员打算进一步了解金字塔的结构，为此，他们使用了一种特殊设计的机器人。这 种机器人会从入口进入金字塔，之后对金字塔进行深度优先遍历。机器人每进入一个房间（无 论是第一次进入还是返回），都会记录这个房间的颜色。最后，机器人会从入口退出金字塔。 显然，机器人会访问每个房间至少一次，并且穿越每条通道恰好两次（两个方向各一次）， 然后，机器人会得到一个颜色序列。但是，探险队员发现这个颜色序列并不能唯一确定金字 塔的结构。现在他们想请你帮助他们计算，对于一个给定的颜色序列，有多少种可能的结构 会得到这个序列。由于结果可能会非常大，你只需要输出答案对10^9 取模之后的值。

题解

树的中序遍历中，树的一棵子树对应了树的一段连续区间，我们可以用区间DP的手段来解决。

我们设 $f[i][j]$表示在中序遍历的区间 $[i,j]$中，形成一棵树的方案书。

由于要形成有根树，那么首位必须保证相同，若 $a[i]=\not a[j]，$则令 $f[i][j]=0.$

初始化为 $f[i][i]=1$.求解状态 $f[1][n].$

由于有多个子树，不想加分二叉树那样容易划分，我们考虑第一课子树的划分。

那么就有状态转移方程： $f[i][j]=\sum_{k=l+1}^{r-1}f[l+1][k]*f[k+1][r]$

我们没必要担心枚举到的状态是否合法，因为反正为0，不会对答案有影响。

主要题主要是一个树形结构的转换，需要多画画图；其次是特判首尾端点不同时需赋值为0.

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;
const int N = 400;
const int P = 1e9;

char a[N];
int f[N][N], n;

signed main(void)
{
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	cin >> a+1;
	n = strlen(a+1);
	for (int i=1;i<=n;++i) f[i][i] = 1;
	for (int len=2;len<=n;++len)
	    for (int i=1;i<=n-len+1;++i)
	    {
	    	int j = i+len-1; 
	    	if (a[i] ^ a[j]) continue;//如果不同不可能形成一棵有根树
	    	for (int k=i+1;k<j;++k) f[i][j] = (f[i][j]+f[i+1][k]*f[k+1][j]) % P;
	    }
	cout << f[1][n] << endl;
	return 0;
}