二叉搜索树的定义及相关操作

定义

二叉搜索树(BST)是一棵特殊的而擦函数，可以为空，它满足一下性质：
1. 非空左子树的所有键值小于其根结点的键值
2. 非空右子树的所有键值大于其根结点的键值
3. 左、右字数都是二叉搜索树
4. 由此可看出二叉树的中序遍历可以得到一个从小到大的输出序列

操作

二叉搜索树的查找操作Find

递归实现

Position Find(BinTree BST, ElementType X)
{
	if(!BST) return NULL; //查找失败
	if(x>BST->Data)
	    return Find(BST->Right, X); //在右子树中递归查找
	else if(x<BST->Data)
	    return Find(Bst->Left, X);  //在左子树中递归查找
	else  //x==BST->Data
	return BST;   //在当前结点查找成功，返回当前结点的地址 
}

由于非递归函数的执行效率高，一般采用非递归的迭代实现查找
迭代实现

Position Find(BinTree BST, ElementType X)
{
	while(BST)
	{
		if(x>BST->Data)
		    BST=BST->Right;
		else if(x<BST->Data)
		    BST=BST->Left;
		else //X==BST->Data
			break;  //在当前结点查找成功，跳出循环 
	}
	return BST; //返回找到的结点地址，或是UNLL 
}

查找最大和最小元素

根据二叉搜索树的性质，最小元素一定是在树的最左分支的端结点上。所谓最左分支的端结点，是指最左分支上没有孩子的结点。而最大元素一定是最右分支的端结点上。如下图所示。这就使得比查找函数更简单，只要从根结点开始，当其不为空时，沿着左分支或右分支逐个判断各结点的指针，知道遇到空指针为止。从左分支逐层退下来查找到的是最小元素，从右分支找到的是最大元素。

查找最小元素的递归实现

Position FindMin(BinTree BST) //最小元素在最左端点 
{
	if(!BST) return NULL; //空的二叉搜索树，返回NULL
	else if(!BST->Left) return BST; //找到最左端并返回
	else
	return FindMin(BST->Left); //沿左分支递归查找 
}

查找最大元素的迭代实现

Position FindMin(BinTree BST)
{
	if(BST)
	while(BST->Right)
		BST=BST->Right; //沿右分支一直向下，知道最右端点
	return BST; 
}

二叉搜索树的插入

将元素X插入二叉搜索树BST中关键是要找到元素应该插入的位置。位置的确定可以利用与查找函数Find类似的方法，如果在树BST中找到X，说明要插入的元素已经存在，可放弃插入操作。如果没有找到X，查找终止的位置就是X要插入的位置。
如图所示插入元素35，先做查找操作，按照上面介绍的查找算法，查找将终止在键值为33的叶结点处，将元素35作为此终止结点的右孩子就完成了新元素的插入。
代码

BinTree Insert(BinTree BST, ElementType X)
{
	if(!BST)  //若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树
	{
		BST=(BinTree)malloc(sizeof(struct TNode));
		BST->Data=X;
		BST->Left=Bst->Right=NULL;
	}
	else  //开始找要插入元素的位置 
	{
		if(X<BST->Data)
			BST->Left=Insert(BST->Left, X); //递归插入左子树
		else if(x>BST->Data)
			BST->Right=Insert(BST->Right, X) //递归插入右子树 
		//else X已经存在，什么都不做 
	}
	return BST;
}

二叉搜索树的删除

二叉搜索树的删除操作比较复杂，要删除结点在树中的位置决定了操作的方法，有三种情况需要考虑：
1. 要删除的是叶结点
出现这种情况可以直接删除，然后再修改其父结点的指针，置空即可。

2.如果眼删除的结点只有一个孩子结点（该结点不一定是叶结点，也可以是子树的根），删除之前需要改变其父结点的指针，指向要删除结点的孩子结点，如图所示