搜索二叉树的概念
搜索二叉树满足下面两个要求：
（1）它是一棵二叉树
（2）该二叉树中，任意一棵树的根节点值大于它左子树中的所有结点的值，小于右子树中的所有结点的值
因此对于搜索二叉树的中序遍历来说，它是按由小到大依次递增的顺序排列的。
搜索二叉树的相关操作
在本文中将介绍搜索二叉树的以下操作：
（1）初始化搜索二叉树
（2）在搜索二叉树中插入指定元素（递归实现）
（3）在搜索二叉树中插入指定元素（非递归实现）
（4）在搜索二叉树中查找指定元素（递归实现）
（5）在搜索二叉树中查找指定元素（非递归实现）
（6）在搜索二叉树中删除指定元素（递归实现）
（7）在搜索二叉树中删除指定元素（非递归实现）
1. 搜索二叉树的表示
搜索二叉树本质上也是一棵二叉树，所以与二叉树的表示方法相同，可以根节点的指针来表示一棵搜索二叉树。因此，搜索二叉树的结点结构也与二叉树表示相同，可以利用孩子表示法来实现，至于各节点之间的大小对应关系，应在具体插入和删除时来保证。所以结点的结构表示如下：
//定义二叉搜索树的节点结构：孩子表示法
typedef char SearchTreeType;
typedef struct SearchTreeNode
{
SearchTreeType data;
struct SearchTreeNode* lchild;
struct SearchTreeNode* rchild;
}SearchTreeNode;
2. 搜索二叉树的初始化
搜索二叉树的结点结构定于与普通二叉树相同，因此在初始化时也相同。直接将根节点的指针置为空，来表示一棵空的搜索二叉树。
因为要对根节点的指针进行置空，即修改指针的值/指向，所以，这里在传参时应传递二级指针。
//初始化二叉搜索树
void SearchTreeInit(SearchTreeNode** proot)
{
if(proot == NULL)
{
//非法输入
return;
}
*proot = NULL;
return;
}
3. 在搜索二叉树中插入节点（递归实现）
要使在插入元素之后，依然为搜索二叉树，因此还必须满足搜索二叉树的第二个约束条件。所以对指定元素进行插入是，该结点所在的位置应当是固定的。
首先指定结点应作为某个节点的左孩子或右孩子。如果作为左孩子，则该结点的左子树必须为空，如果作为右孩子，则该节点的右子树必须为空。
其次作为右子树还是左子树，应根据指定元素与该结点的值进行大小判断，如果指定元素小于该结点的值，则作为该结点的左子树，如果大于，则作为该结点的右子树。
注意：这里规定搜索二叉树中的结点元素值是不重复的，如果新元素值已在树中存在，则不进行插入。
所以，需要不断的寻找满足上述两个要求的结点，思路如下：
（1）如果跟结点为空，则直接将根节点的指针指向新节点
（2）如果根节点不为空，则递归遍历寻找至少有一个子树为空的结点。
a）如果指定元素的值小于根节点的值，则递归遍历左子树，在左子树中寻找满足条件的值
b）如果指定元素的值大于根节点的值，则递归遍历右子树，在右子树中寻找满足条件的值
c）如果指定元素的值等于根节点的值，则直接返回，不进行插入。
代码如下：
//在二叉搜索树中插入元素
void SearchTreeInsert(SearchTreeNode** proot,SearchTreeType value)
{
if(proot == NULL)
{
//非法输入
return;
}
SearchTreeNode* new_node = CreateNode(value);
if(*proot == NULL)
{
//插入之前树为空，则将根节点的指针指向新创建的节点
*proot = new_node;
return;
}
//插入之前树不为空，则从根节点开始遍历查找应该插入的位置
//如果新节点的值小于根节点的值，则新节点应插入到左子树中
if(value < (*proot)->data)
{
//然后递归遍历左子树进行插入
SearchTreeInsert(&(*proot)->lchild,value);
}
//如果新节点的值大于根节点的值，则新节点应插入到右子树中
else if(value > (*proot)->data)
{
//然后递归遍历右子树进行插入
SearchTreeInsert(&(*proot)->rchild,value);
}
else
{
//如果相等，作如下规定：二叉搜索树中不允许有相等的节点
//此时，直接返回即可
return;
}
return;
}
当搜索二叉树为单支树时，需遍历整棵树中的结点，所以该函数的时间复杂度为：O(n)。
4. 在搜索二叉树中插入指定元素结点（非递归实现）
在非递归实现中的思路与上述递归实现思路相同，只是在代码实现上略有不同。
（1）如果根节点为空，则使跟结点的指针指向新节点，结束操作
（2）如果根节点不为空，则将根节点作为当前节点cur，一层一层往下循环遍历寻找满足条件的结点
a）如果指定元素比根节点值小，则将当前节点cur替换为原cur的左子树，在左子树中继续循环寻找
b）如果指定元素比根节点大，则价将当前节点cur替换为原cur的右子树，在右子树中继续循环寻找
（3）当遍历到某一个结点时，
a）如果该结点的左子树为空，且指定元素小于该结点的值，则将新节点作为该结点的左子树
b）如果该结点的右子树为空，且指定元素大于该结点的值，则将新结点作为该结点的右子树
c）如果指定元素等于该结点的值，则直接结束返回，不进行插入。
代码如下：
//在二叉搜索树中插入指定元素（非递归）
void SearchTreeInsertByLoop(SearchTreeNode** proot,SearchTreeType value)
{
if(proot == NULL)
{
//非法输入
return;
}
//创建新节点
SearchTreeNode* new_node = CreateNode(value);
//如果根节点为空，直接使根节点的指针指向新节点
if(*proot == NULL)
{
*proot = new_node;
return;
}
//从根节点开始循环遍历寻找新节点要插入的节点，该节点的左右子树必须至少有一个为空，
//且与新节点的大小关系满足搜索二叉树的定义
//在插入新节点时，要一层一层的往下遍历直到找到可以插入的节点
SearchTreeNode* cur = *proot;
while(1)
{
//如果某个节点的左子树为空，且value的值小于该节点的值
//将新节点作为该节点的左子树
if(cur->rchild == NULL && value > cur->data)
{
cur->rchild = new_node;
break;
}
//如果某个节点的左子树不为空,且value的值小于该节点的值
//则在该节点的左子树中继续循环遍历查找
if(value < cur->data)
{
cur = cur->lchild;
}
//如果某个节点的右子树不为空，且value的值大于该节点的值
//则在该节点的右子树中继续循环遍历查找
else if(value > cur->data)
{
cur = cur->rchild;
}
//如果遇到与某个节点的值相等，则直接结束，不进行插入
else
{
DestroyNode(new_node);//释放新创建的节点
break;
}
}
return;
}
5. 在二叉树中查找指定元素（递归）
在上述的插入操作中，其实已经包含该步操作。当遍历到一个结点，就将指定元素与该结点的值进行比较。思路如下：
（1）如果该树给空，则查找失败
（2）如果树不为空，则比较跟结点与指定元素的大小
a）如果指定元素比跟结点值小，此时需要在跟结点的左子树中寻找，因此需要递归遍历左子树
b）如果指定元素比跟结点大，此时需要在跟结点的右子树中寻找，因此需要递归遍历右子树
c）如果相等，则直接返回根节点的指针。
代码如下：
//在二叉搜索树中查找指定元素
SearchTreeNode* SearchTreeFind(SearchTreeNode* root,SearchTreeType to_find)
{
if(root == NULL)
{
//空树
return NULL;
}
//首先判断根节点处的值与所要查找元素的大小关系，如果相等，则直接返回根节点的指针
if(root->data == to_find)
{
return root;
}
else if(to_find < root->data)//如果要查找节点的值小于根节点的值
{
//则在左子树中递归遍历查找
return SearchTreeFind(root->lchild,to_find);
}
else//如果要查找节点的值大于根节点的值
{
//则在右子树中递归遍历查找
return SearchTreeFind(root->rchild,to_find);
}
}
6. 在二叉树中查找指定元素（非递归）
非递归实现时与上述递归实现思路相同，
（1）判断跟节点是否为空，为空，则查找失败
（2）不为空，则将根节点作为当前节点cur，
a）如果指定元素小于根节点的值，则将cur更新为cur的左子树，循环（2）
b）如果指定元素大于根节点的值，则将cur更新为cur的右子树，循环（2）
c）如果指定元素等于根节点的值，则返回cur的值
d）如果遍历到cur为空时还没找到，说明要查找的元素不存在，直接跳出循环返回即可。
代码如下：
//在二叉搜索树中查找指定元素（非递归）
SearchTreeNode* SearchTreeFindByLoop(SearchTreeNode* root,SearchTreeType to_find)
{
if(root == NULL)
{
//空树
return NULL;
}
//从根节点开始遍历查找，待找到某个节点
SearchTreeNode* cur = root;
while(1)
{
//如果遍历到某个节点时，该节点为空，则说明要查找的值不存在
if(cur == NULL)
{
break;
}
//如果要查找节点的值小于根节点的值，则在左子树中循环遍历查找
if(to_find < cur->data)
{
cur = cur->lchild;
}
//rug要查找节点的值大于根节点的值，则在该节点的右子树中继续循环遍历查找
else if(to_find > cur->data)
{
cur = cur->rchild;
}
else
{
return cur;
}
}
return NULL;
}
7. 在二叉搜索树中删除指定元素（非递归实现）
（1）在树中删除元素之前，首先要判断这棵树是否为空，为空则删除失败。
（2）树不为空，此时需要在树中查找指定元素所在的位置。如果没找到，也删除失败
（3）如果找到了，根据删除元素的不同状态可分为以下几种情况讨论。
a）如果要删除的结点没有左右子树
i）如果此时要删除的结点是根节点，此时直接将存放根节点指针的内存空间置空。
ii）如果此时要删除的结点不是根节点。
若要删除结点是其父节点的左子树，此时需要将父节点的左子树置为空
若要删除节点是其父节点的右子树，此时需要将父节点的右子树置为空
最后释放根节点的内存空间即可。
b）要删除的结点只有左子树
i）如果此时要删除的结点是根节点，则将存放根节点指针的内存空间用于存放原根节点的左子树的指针
ii）如果此时要删除的结点不是根节点。
若要删除结点是其父节点的左子树，则将要删除
c）要删除的结点只有右子树
d）要删除的结点左右子树都有