四元数表示旋转的理解

哈密尔顿

为了纪念四元数的发明者哈密尔顿,爱尔兰于1943年11月15日发行了下面这张邮票:
哈密尔顿简直是个天才,哈密尔顿从小到进入大学之前没有进过学校读书，他的教育是靠叔父传授以及自学。他找到了法国数学家克莱罗（Clairaut）写的《代数基础》一书，很快就学会了代数，然后看牛顿写的《数理原理》。在16岁时就读法国著名数学家和天文学家拉普拉斯（Laplace）五册的《天体力学》，他发现拉普拉斯关于力的平行四边形法则的证明的错误.
四元数的概念是由爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton发明的（1843年，都柏林）。Hamilton当时正和他的妻子前往爱尔兰皇家研究院，当他从Brougham桥通过皇家运河时，他领悟到了一个激动人心的东西，并立刻把它刻在桥的一个石头上：

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$

关于哈密尔顿的介绍可以看这篇博客: 邮票上的数学家(10)哈密尔顿(爱尔兰)

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四元数旋转推导过程

1.基本概念

(1) 四元数的一般形式如下:$q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k$
(2) 单位四元数:满足四元数的模为1,即${q_0}^2+{q_1}^2+{q_2}^2+{q_3}^2=1$
(3) 四元数的三角形式:$q=cos{\frac{\theta}{2}}+\vec{u}sin{\frac{\theta}{2}}$
(4)共轭四元数:$q^*=q_0-q_1i-q_2j-q_3k$
(5) 纯四元数:$q=q_1i+q_2j+q_3k$
(6)四元数与空间旋转:

$$R_q(p)=qpq^{-1}$$
其中:
$q$:单位四元数
$q^{-1}$:四元数的逆,对于单位四元数, $q^*=q^{-1}$
$p$:纯四元数
$R_q(p):也是一个纯四元数$

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2. 欧拉角的万向锁问题

先看一个简单的欧拉旋转，如下图所示：欧拉旋转需要先确定旋转顺序，我们可以定义X-Y-Z的顺序（总共有12种旋转顺序），那么什么是万向锁呢，我们可以用手机在桌子上进行旋转，以手机的正面为xy平面，以手机的厚度的方向作为z轴，我们先绕x转一个角度，然后再绕y轴旋转90度，我们会发现一个问题，当我们再绕z轴旋转一个角度，效果等同于我开始绕x轴旋转另外一个角度,再绕y轴旋转90度就行了.

我们的欧拉旋转只能表示二维空间了，这是解我们的微分方程会出现退化现象，造成我们的微分方程无法解的情况。这样说似乎还是比较模糊，那么我们举一个例子:

如图所示:$X_wY_wZ_w$是世界坐标系,$X_iY_iZ_i$是机体坐标系,我们先绕$X_i$轴旋转$30^\circ$,再绕$Y_i$旋转$90^\circ$,如下图所示:

此时我们的$X_w$和$Z_i$在同一直线上,最后我们再绕$Z_i$旋转$40^\circ$,如下图所示:

我们会发现一个问题，无论我们怎么旋转，我们的坐标都是（30,90，z）,也就是绕z轴的旋转角度我们无法衡量的，这也就是我们的万向锁问题。

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3. 四元数推导

复数旋转

首先我们看一个复数$p=a+bi$在复平面的表示:
现在我们将它旋转角度$\theta$,先定义另外一个复数$q=cos\theta+isin\theta$,我们发现,复数的乘法表示了一种旋转:

$$qp=(acos\theta-bsin\theta)+i(asin\theta+bcos\theta)$$
这个复数恰好就是 $p$旋转 $\theta$角度后的值:

三维复数旋转

我们看到了二维复数乘法可以表示旋转，那么三维空间呢。按照举一反三的思想，我们会想到再增加一个虚数作为第三个维度，这个就要涉及到我们的向量的叉乘，如下图所示：

向量叉乘的结果是两个向量构成平面的垂直向量,那么我们定义两个个三维的复数:

$$z_1=a_1+b_1i+c_1j\\ z_2=a_2+b_2i+c_2j$$
其中 $i^2=j^2=-1$,我们类似的进行复数的乘法,得到:
$$z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i+(a_1c_2+a_2c_1)j+b_1c_2ij+b_2c_1ji$$
我们会发现,如果没有 $ij和ji$这两项,我们三维的复数旋转也就没问题,那该如何处理呢?

四元数旋转

哈密尔顿引入四维的四元数:$q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k,其中i^2=j^2=k^2=-1$,根据向量的叉乘可以定义下列一些关系:




可以得到下列关系:

$$ij=-ji=k\\jk=-kj=i\\ki=-ik=j\\i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$
为了方便理解,我们将四元数写成向量的形式: $q=[s,\vec{v}]$,我们可以理解为 $s$为实部,向量 $\vec{v}$表示的就是三维空间,下面我们看一下四元数的乘法:
$$q_a=[s_a,\vec{a}]\\q_b=[s_b,\vec{b}]\\q_aq_b=[s_as_b-\vec{a}\cdot \vec{b},s_a\vec{b}+s_b\vec{a}+\vec{a}\times \vec{b}]$$
由于我们研究的是三维空间,因此我们可以令 $q_a$为一个纯四元数,即 $q_a=[0,\vec{a}]$.则可以得到: $$q_aq_b=[-\vec{a}\cdot \vec{b},s_b\vec{a}+\vec{a}\times \vec{b}]$$
从上面可以看到,一个普通的四元数是无法将三维空间映射到三维空间的,我们令向量点乘的部分为零,此时,一个纯四元数就可以旋转为另一个纯四元数.为了表现出旋转,这里我们用四元数的三角表示方式: $q_b=[cos\theta,sin\theta\vec{b}]$,令 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$,则有:
$$q_aq_b=[0,\vec{a}cos\theta+\vec{a}\times\vec{b}sin\theta]$$
我们没有对向量 $\vec{b}$做任何限制,下面来用一个例子说明应当对向量 $\vec{b}$做什么限制.
令 $p=[0,2i],q=[\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\vec{b}]$,考虑到 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$,令 $\vec{b}=|\vec{b}|k$,则将 $p$旋转 $45^\circ$后得到:
$$p^{'}=qp=[0,\sqrt{2}|\vec{b}|i+\sqrt{2}|\vec{b}|j]$$
旋转之前,纯四元数 $p$的模长为 $|p|=2$,旋转过后,纯四元数 $p^{'}$的模长 $|p^{'}|=2|\vec{b}|$,所以我们要给旋转四元数又加上一个约束:四元数 $q$的模长为1,即 $q$是一个单位四元数.

但是上面的旋转是有缺点的,因为其限制了我们的旋转轴和需要被旋转的四元数必须是垂直的($\vec{a}\cdot\vec{b}=0$),而不能达到任意的旋转.这时,聪明的哈密尔顿发现,一个四元数会把一个纯四元数拉到四维空间,但它的共轭又会把这个四维的空间拉回到三维空间.我们以一个简单的例子来说明这个问题:

$$p=[0,2i],q=[frac{sqrt{2}}{2},frac{sqrt{6}}{6}(i+j+k)],则q^*=[frac{sqrt{2}}{2},-frac{sqrt{6}}{6}(i+j+k)]$$
旋转之后的四元数 $R_q(p)$:
$$R_q(p)=[0,2j]$$
这里需要注意的一点是,因为经过两次的旋转,所以旋转的角度是 $2\theta$,这就是为什么我们常常看到的旋转四元数是一下形式:
$$q=cos{\frac{\theta}{2}}+\vec{u}sin{\frac{\theta}{2}},其中|\vec{u}|=1$$

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Quaternions – Ken Shoemake

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参考资料

1. Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》
2. 视觉SLAM中的数学基础 第二篇 四元数
3. 四元数与空间旋转 – 维基
4. 四元数 – 维基
5. Shoemake, Quaternions