蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——POJ2888 Naptime（DP）

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题目：POJ2888.
题目大意：给定一个长度为 $n$的环状数列，在这个环状数列上取 $m$个数，其中每一个极大连续段的开头没有贡献，其余均有贡献，求最大贡献和.
$0\leq b\leq n\leq 3600$.

首先不考虑这是个环而是个序列，直接DP.设 $f[i][j][0/1]$表示第 $1$到 $i$个数中取了 $j$个数且第 $i$个数不选 $/$选的最大贡献和，容易列出方程：
$f[i][j][0]=max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1])\\ f[i][j][1]=max(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j-1][1]+a[i]).$

初态 $f[1][0][0]=f[1][1][1]=0$，答案 $max(f[n][m][0],f[n][m][1])$.显然这个DP可以做到 $O(n^2)$.

考虑如何把这个做法拓展到环上.

重新考虑一下我们漏掉了哪种情况，发现只漏掉了一种第 $n$个和第 $1$个同时选的情况，这个情况下貌似只需要把初态改成 $f[1][1][1]=a[1]$，答案变为 $f[n][m][1]$即可.

于是我们只需要跑两遍DP即可解决这个问题，时空复杂度 $O(n^2)$.

然而这个做法在POJ上会爆空间，所以需要滚动数组优化一下空间复杂度.

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=3830,INF=(1<<30)-1;

int n,m,a[N+9],ans,dp[N+9][2];

void Pre_dp(){
  for (int j=0;j<=m;++j)
    for (int k=0;k<2;++k)
      dp[j][k]=-INF;
}

void Solve_dp(){
  for (int i=2;i<=n;++i)
    for (int j=m;j>=0;--j){
      dp[j][0]=max(dp[j][0],dp[j][1]);
      if (j>0) dp[j][1]=max(dp[j-1][0],dp[j-1][1]+a[i]);
	}
}

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%d",&a[i]);
}

Abigail work(){
  if (n<2) return;
  Pre_dp();
  dp[0][0]=dp[1][1]=0;
  Solve_dp();
  ans=max(dp[m][0],dp[m][1]);
  Pre_dp();
  dp[1][1]=a[1];
  Solve_dp();
  ans=max(ans,dp[m][1]);
}

Abigail outo(){
  printf("%d\n",ans);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}