蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——BZOJ2337 【HNOI2011】XOR和路径（概率期望+DP+高斯消元）

题目：BZOJ2337.
题目大意：给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的带边权无向连通图，求从点 $1$ 到点 $n$ 的异或和的期望.
$1\leq n\leq 100,1\leq m\leq 10^4$ ，边权 $\in[0,10^9]$ .

看到位运算先想到拆位，显然每一位互不影响.

假设现在考虑某一位，我们设 $f[i]$ 表示这一位从点 $i$ 出发到点 $n$ 异或和为 $1$ 的概率.

设 $deg[i]$ 表示点 $i$ 的度，容易列出方程：
$f[x]=\sum_{(x,y)\in E}\frac{1}{deg[x]}* \left\{\begin{matrix} f[y]&v(x,y)=0\\ 1-f[y]&v(x,y)=1 \end{matrix}\right.$

然后我们根据这个方程高消一下即可得到最后的概率，也就可以求得期望了.

时间复杂度 $O(n^3\log 10^9)$ .

注意自环不能加两次，只能当一条有向边算.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h> 
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=100,M=10000,C=30;
const double eps=1e-8;

int n,m;
struct side{
  int y,next,v;
}e[M*2+9];
int lin[N+9],cs;

void Ins(int x,int y,int v){e[++cs].y=y;e[cs].v=v;e[cs].next=lin[x];lin[x]=cs;}

int deg[N+9];
double ans,mat[N+9][N+9];

void Gauss(){
  int now=1;
  for (int i=1;i<n;++i){
    int r=now;
    for (int j=now+1;j<n;++j)
      if (abs(mat[j][i])>abs(mat[r][i])) r=j;
    if (abs(mat[r][i])<eps) continue;
    if (r^now) swap(mat[r],mat[now]);
    double t=mat[now][i];
    for (int j=1;j<=n;++j) mat[now][j]/=t;
    for (int j=1;j<n;++j)
      if (j^now){
        t=mat[j][i];
        for (int k=1;k<=n;++k) mat[j][k]-=t*mat[now][k];
	  }
	++now;
  }
  for (int i=1;i<n;++i) mat[i][n]/=mat[i][i]; 
}

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  int x,y,v;
  for (int i=1;i<=m;++i){
  	scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
  	Ins(x,y,v);++deg[x];
  	if (x^y) Ins(y,x,v),++deg[y];
  }
}

Abigail work(){
  for (int i=0;i<=C;++i){
    for (int j=1;j<n;++j)
      for (int k=1;k<=n;++k)
        mat[j][k]=0;
    for (int j=1;j<n;++j){
	  mat[j][j]-=1.0;
	  for (int k=lin[j];k;k=e[k].next)
	    if (e[k].y==n) mat[j][n]-=1.0*(e[k].v>>i&1)/deg[j];
	    else if (e[k].v>>i&1) mat[j][e[k].y]-=1.0/deg[j],mat[j][n]-=1.0/deg[j];
	      else mat[j][e[k].y]+=1.0/deg[j];
	}
    Gauss();
    ans+=mat[1][n]*(1<<i);
  }
}

Abigail outo(){
  printf("%.3lf\n",ans);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}

蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——BZOJ2337 【HNOI2011】XOR和路径（概率期望+DP+高斯消元）

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