蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——Codeforces 24D Broken Robot（期望概率+DP+高斯消元）

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题目：CF24D.
题目大意：给定一个 $n*m$矩阵，机器人从 $(x,y)$开始走，每次可以等概率随机地往左、右、下三个方向或停留在原地走，但不能走出矩阵，求机器人走到第 $n$排的期望步数.
$1\leq n,m\leq 10^3$.

设 $f[i][j]$表示从点 $(i,j)$出发到达第 $n$排的期望步数，那么容易发现：
$f[i][j]=\left\{\begin{matrix} 0&i=n\\\\ 1+\frac{f[i][j]+f[i+1][j]+f[i][j+1]}{3}&j=1\\\\ 1+\frac{f[i][j]+f[i+1][j]+f[i][j-1]}{3}&j=m\\\\ 1+\frac{f[i][j]+f[i+1][j]+f[i][j-1]+f[i][j+1]}{4}&j\in(1,m) \end{matrix}\right.$

容易发现这个在行之间满足无后效性，但是在每一行内部有后效性.所以考虑两行之间递推用DP，行内部则用高消解决.

这个做法复杂度为 $O(nm^3)$，无法通过此题.

考虑一下这个矩阵有什么特性.容易发现这个系数矩阵中不为 $0$的只有主对角线及其相邻的位置，也就是说每一行只有最多4个位置是真正有意义的.

而这样的矩阵其实可以通过特殊处理直接做到 $O(m)$消元的，具体实现可以看代码.

时间复杂度 $O(nm)$.注意特判 $m=1$的情况.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h> 
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=1000;

int n,m,sx,sy;
double dp[N+9][N+9],a[N+9][N+9];

void Gauss(){
  for (int i=2;i<=m;++i){
    double t=a[i][i-1]/a[i-1][i-1];
    a[i][i-1]=0;a[i][i]-=a[i-1][i]*t;a[i][m+1]-=t*a[i-1][m+1];
  }
  for (int i=m-1;i>=1;--i){
  	double t=a[i][i+1]/a[i+1][i+1];
  	a[i][i+1]=0;a[i][i]-=a[i+1][i]*t;a[i][m+1]-=t*a[i+1][m+1]; 
  }
  for (int i=1;i<=m;++i) a[i][m+1]/=a[i][i];
}

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  scanf("%d%d",&sx,&sy);
}

Abigail work(){
  for (int i=n-1;i>=1;--i){
    if (m==1){dp[i][m]=2.0+dp[i+1][m];continue;}
    a[1][1]=2.0;a[1][2]=-1.0;a[1][m+1]=3.0+dp[i+1][1];
    for (int j=2;j<m;++j)
      a[j][j-1]=-1.0,a[j][j]=3.0,a[j][j+1]=-1.0,a[j][m+1]=4.0+dp[i+1][j];
    a[m][m-1]=-1.0;a[m][m]=2.0;a[m][m+1]=3.0+dp[i+1][m];
    Gauss();
    for (int j=1;j<=m;++j) dp[i][j]=a[j][m+1];
  }
}

Abigail outo(){
  printf("%.10lf\n",dp[sx][sy]);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}