一、引入
我们经常会遇到需要一些维护一个序列的问题，例如，给定一个整数序列，每次操作会修改序列某个位置上的数，或是询问你序列中某个区间内所有数的和。用“暴力”算法，单点修改的复杂度为O(1)，询问区间和的单次复杂度为O(区间长度)。用前缀和算法，询问区间和是O(1)，但单点修改的复杂度为O(区间长度)。这类问题的m(询问次数)和n(区间长度)往往是10^5数量级的，但这两种算法都会失效。线段树就是用来处理类似这样，在序列上单点修改、区间询问等等的数据结构，相当于朴素算法O(n^2)的时间复杂度，线段树能在O(nloogn)的复杂度下解决问题。
二、概念
线段树是一棵二叉树，线段树上每个结点对应的是序列的一段区间。如图所示：
很容易发现，根结点对应的是整个区间[0,n-1]。若一个结点对应的区间为[l,r]，当l=r时，它是一个叶节点，没有左右儿子，否则肯定有左右儿子，mid=(l+r)/2，则左儿子对应的区间为[1,mid]，右儿子对应的区间是[mid+1,r]。
从这里可以看出，最后一层右n个结点，倒数第二层有n/2个结点，以此类推，线段树中的结点数是n+n/2+n/4+...+1=2n-1.
令线段树的高度为h，不难看出线段树h只有logn级别。当我们需要维护的序列长度为2的整数次幂时，线段树是一棵满二叉树。其他情况下，线段树h-1层是满二叉树，最后一层可能不满。
三、应用示例
问题：给定序列a[0],a[1],a[2]...a[n-1]接下来有m次操作，可以单点修改，求区间和。
1、树的定义
定义一个结点包括l，r，w，f。
struct node { int l,r,w,f;//f为懒标记，可以不看。 }tree[N*4+5];
2、建树
void build(int k,int l,int r){//k为当前结点,l为当前左边界，r为当前右边界 tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(l==r){scanf("%d",&tree[k].w);return ;}//l==r是k为叶节点。 int mid=l+r>>1;//l+r>>1=(l+r)/2 build(k<<1,l,mid);//左儿子k<<1=k*2 build(k<<1|1,mid+1,r);//右儿子k<<1|1=k*2+1 tree[k].w=tree[k<<1].w+tree[k<<1|1].w; //统计结点值 }
标记下传(可以先不用了解)
void pushdown(int k){ tree[k<<1].f+=tree[k].f; tree[k<<1|1].f+=tree[k].f; tree[k<<1].w+=tree[k].f*(tree[k<<1].r-tree[k<<1].l+1); tree[k<<1|1].w+=tree[k].f*(tree[k<<1|1].r-tree[k<<1|1].l+1); tree[k].f=0; }
4、询问区间和
int sum(int k,int x,int y){//x,y为询问区间 int ans=0; if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y){如果当前结点在x,y中。返回当前值。 return tree[k].w; } if(tree[k].f)pushdown(k);//每次遍历到都要标记下传 int mid=(tree[k].l+tree[k].r)>>1; if(x<=mid)ans+=sum(k<<1,x,y);//如果x<=mid说明左儿子有当前区间 if(y>mid)ans+=sum(k<<1|1,x,y);//如果y>mid说明有儿子有当前区间 return ans; }
5、单点修改
void add(int k,int x,int v){//结点x加上 if(tree[k].l==tree[k].r){//如果遍历到当前结点 tree[k].w+=v;//当前结点加上v return ; } if(tree[k].f)pushdown(k);//标记下传 int mid=tree[k].l+tree[k].r>>1; if(x<mid)add(k<<1,x,v);//如果x<mid那么在左儿子 else add(k<<1|1,x,v);//否则在右儿子 tree[k].w=tree[k<<1].w+tree[k<<1|1].w;//更新区间值 return ; }
6、区间修改
有时我们需要区间修改区间询问时，用到上面的操作已经无法完成我们的需求了。我们没法高效的完成区间修改，于是我们要引入一个东西叫懒标记，就是在每个结点上维护一个值f，表示每个结点所对应的区间内所有树都加上f，当遍历到这个结点时再把标记下传。
注意到根结点到叶节点[i,i]的路径上会经过所有包含i点的区间所对应的结点，并且路径上所有点也会包含i这个位置，因此我们将路径经过的f加起来就是位置i目前的值。而路径上只有O(logn)个点,因此复杂度可以承受。
之前修改时没有选择将所有位置的值马上更新，而是将修改对值得影响记录在根到路径上的某结点处，等到询问某结点是，将一整条路径上所有对这个位置产生影响的值加起来，得到了要求的结果，巧妙的优化了时间复杂度。下面给出区间修改代码。
void add_p(int k,int x,int y,int v){//区间x,y加上v if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y){//如果包含当前区间加上l-r个v，然后标上标记 tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*v; tree[k].f+=v; return ; } if(tree[k].f)pushdown(k);//标记下传 int mid=tree[k].l+tree[k].r>>1; if(x<=mid)add_p(k<<1,x,y,v);//左儿子 if(y>mid)add_p(k<<1|1,x,y,v);//右儿子 tree[k].w=tree[k<<1].w+tree[k<<1|1].w;//重新统计w return ; }
7、例题
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1000005,logN=20; int x,y,n,m,Log[N],f[N][logN],a[N]; inline int read(){ int ret=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();} while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar(); return ret*f; } int main(){ // freopen("p.in","r",stdin); // freopen("p.out","w",stdout); n=read(),m=read(); for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(); Log[0]=-1; for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=a[i],Log[i]=Log[i>>1]+1; for(int j=1;j<=logN;j++) for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){ f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]); } for(int i=1;i<=m;i++){ x=read(),y=read(); int s=Log[y-x+1]; printf("%d ",min(f[x][s],f[y-(1<<s)+1][s])); } return 0; }
void add(int k,int x,int v){if(tree[k].l==tree[k].r){tree[k].w+=v;return ;}if(tree[k].f)pushdown(k);int mid=tree[k].l+tree[k].r>>1;if(x<mid)add(k<<1,x,v);else add(k<<1|1,x,v);tree[k].w=tree[k<<1].w+tree[k<<1|1].w;return ;}