可分和
如果\(f\)可分为俩个变量:\(f(x, y)=\varphi(x) + \psi(y)\), 于是:
如果\(f\)是完全可分的，即\(f(x) = \sum_{i=1}^n f_i (x_i)\):
\[ (\mathbf{prox}_f(v))_i = \mathbf{prox}_{f_i}(v_i) \]
这个性质在并行算法的设计中非常有用。
基本的运算
如果\(f(x) = \alpha \varphi (x) + b\), \(\alpha > 0\):
\[ \mathbf{prox}_{\lambda f} (v) = \mathbf{prox}_{\alpha \lambda \varphi} (v) \]
如果\(f(x) = \varphi (\alpha x +b)\), \(\alpha \ne 0\):
证：
\[ \begin{array}{ll} \mathbf{prox}_{\lambda f}(v) &= \mathrm{argmin}_x \varphi(\alpha x+b) +\frac{1}{2\lambda}\|x-v\|_2^2 \\ &= \mathrm{argmin}_x \varphi(z) + \frac{1}{2\lambda}\|(z-b)/\alpha -v\|_2^2 \\ &= \mathrm{argmin}_x \varphi(z) + \frac{1}{2\lambda \alpha^2}\|z-b -\alpha v\|_2^2 \\ &= \frac{1}{\alpha} (\mathbf{prox}_{\alpha^2 \lambda \varphi}(\alpha v + b) - b) \end{array} \]
其中\(z=\alpha x+b\),证毕.
如果\(f(x) = \varphi(Qx)\)，且\(Q\)为正交矩阵:
\[ \mathbf{prox}_{\lambda f} (v) = Q^T \mathbf{prox}_{\lambda \varphi}(Qv) \]
如果\(f(x) = \varphi(x) + a^Tx + b\)，则:
\[ \mathbf{prox}_{\lambda f}(v) = \mathbf{prox}_{\lambda \varphi} (v-\lambda a) \]
证:
\[ \begin{array}{ll} \mathbf{prox}_{\lambda f}(v) &= \mathrm{argmin}_x \varphi (x) + a^Tx + b + \frac{1}{2\lambda} \|x-v\|_2^2 \\ &= \mathrm{argmin}_x \varphi(x) +\frac{1}{2 \lambda} (x^Tx -2v^Tx+2\lambda a^Tx)+c \\ &= \mathrm{argmin}_x \varphi(x) + \frac{1}{2 \lambda} \|x-(v-\lambda a)\|_2^2 \\ &= \mathbf{prox}_{\lambda \varphi}(v-\lambda a) \end{array} \]
其中\(c\)为与\(x\)无关的项.
如果\(f(x) = \varphi(x) + (\rho/2) \|x -a \|_2^2\), 则:
\[ \mathbf{prox}_{\lambda f} (v) = \mathbf{prox}_{\widetilde{\lambda}\varphi}\big((\widetilde{\lambda}/\lambda)v + (\rho \widetilde{\lambda})a \big) \]
其中\(\widetilde{\lambda} = \lambda / (1+\lambda \rho)\)，证明方法和上面是类似的，重新组合二次项就可以了.
不动点 fixed points
点\(x^*\)最小化\(f\)当且仅当:
\[ x^* = \mathbf{prox}_f (x^*) \]
这说明，\(x^*\)是\(\mathbf{prox}_f\)的一个不动点，这个性质对于\(\lambda f\)也是成立的.
压缩映射的定义:
考虑映射\(T: (X, \rho) \rightarrow (X, \rho)\). 如果存在\(0 < a < 1\)使得对任意的\(x, y \in X\)有:
\[ \rho (Tx, Ty) < a \rho(x, y) \]
则称函数\(T\)是\((X, \rho)\)到自身的压缩映射.
如果\(\mathbf{prox}_f\)是一个压缩映射，那么显然，如果我们想要找出最小化\(f\)的\(x^*\)，可以用下式迭代：
\[ x^{n+1} = \mathbf{prox}_f(x^n) \rightarrow x^* \]
比如\(\mathbf{prox}_f\)满足\(L<1\)的Lipschitz条件.
近端算子有这个性质:
这儿有关于这块内容的讨论.
\(x = \mathbf{prox}_f(v) \Leftrightarrow v-x \in \partial f(x)\)，其中\(\partial\)表示次梯度.
设\(u_1 = \mathbf{prox}_f(x), u_2 = \mathbf{prox}_f(y)\),则:
\[ x - u_1 \in \partial f(u_1) \\ y - u_2 \in \partial f(u_2) \]
因为\(f\)是凸函数，所以\(\partial f\)是单调增函数:
\[ <x - u_1 - (y-u_2), u_1-u_2> \ge 0 \\ \Rightarrow \|u_1 - u_2\|_2^2 \le (x-y)^T(u_1-u_2) \]
上面的单调增函数，翻译的估计不对，主要是我对这方面的只是也不了解，原文用的是monotone mapping, 我们来看凸函数\(f(x)\):
\[ f(y) \ge f(x) + \partial f(x)^T (y-x) \\ f(x) \ge f(y) + \partial f(y)^T(x-y) \]
相加即得：
\[ (\partial f(x) - \partial f(y))^T (x-y) \ge 0 \]
还有严格凸的情况下有个特殊情况，这个怎么证明啊...而且，似乎在不是严格凸的，利用上面的迭代公式也是能够收敛到不动点的，可似乎不满足不动点定理啊.
而且作者将这个与平均算子(averaged operators)联系起来:
\[ T = (1-\alpha)I+\alpha N, \alpha \in (0, 1) \]
以及迭代公式:
\[ x^{k+1}:=(1-\alpha ) x^k + \alpha N \]
Moreau decomposition
有以下事实成立:
以下的证明是属于
沿用其符号，令（注意是\(\inf\)不是\(\mathrm{argmin}\)）
\[ f_{\mu}(x) = \inf_y \{f(y) + \frac{1}{\mu} \|x-y\|_2^2\} \]
我们可以其改写为:
注意\(-\sup A=\inf -A\)
假设\(f\)是凸函数且可微的,那么:
\[ f^*(y)={x^*}^T \nabla f(x^*) - f(x^*) \]
其中，\(x\)满足:\(y=\nabla f(x^*)\)。于是(注意\(\nabla f(x^*)=y\), 且上式是关于\(y\)求导):
\[ \nabla f^* (y) = x^* \]
这就是\(\nabla f_{\mu} (x)\)的由来.
我们再来看其对偶表示:
其拉格朗日对偶表示为：
如果满足强对偶条件:
所以:
\[ f_{\mu}(x) = \frac{1}{2 \mu} \|x\|^2-\frac{1}{\mu}(\mu f+\frac{1}{2}\|\cdot\|^2)^*(x) =(f^* + \frac{\mu}{2} \|\cdot\|^2)^*(x) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\|x\|^2= ( \mu f + \frac{1}{2}\|\cdot\|^2)^*(x)+\mu (f^*+\frac{\mu}{2}\|\cdot\|^2)^*(x) \\ \Rightarrow x= \mathbf{prox}_{\mu f}(x) + \mu\mathbf{prox}_{\frac{1}{\mu}f^*}(\frac{x}{\mu})=x = \mathbf{prox}_{\mu f}(x) + \mathbf{prox}_{(\mu f)^*}(x) \]
最后一步的结果通过对上式俩边求导得到的，不知道对不对，但是\(\mu=1\)的时候，下式是一定成立的:
\[ x = \mathbf{prox}_f(x) + \mathbf{prox}_{f^*}(x) \]