数据结构与算法之美（跳表）

一、什么是跳表

给一个值有序的链表建立多级索引，比如每2个节点提取一个节点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。如下图所示，其中down表示down指针，指向下一级节点。以此类推，对于节点数为n的链表，大约可以建立log2n-1级索引。像这种为链表建立多级索引的数据结构就称为跳表。

二、跳表的时间复杂度

1.计算跳表的高度

先来求跳表的索引高度。如下图所示，假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，原始的链表有n个元素，则一级索引有n/2 个元素、二级索引有 n/4 个元素、k级索引就有 n/2k个元素。最高级索引一般有2个元素，即：最高级索引 h 满足 2 = n/2h，即 h = log2n - 1，最高级索引 h 为索引层的高度加上原始数据一层，跳表的总高度 h = log2n。

2.计算跳表的时间复杂度

假设我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都遍历m个节点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)。那这个m是多少呢？如下图所示，假设我们要查找的数据是x，在第k级索引中，我们遍历到y节点之后，发现x大于y，小于后面的节点z，所以我们通过y的down指针，从第k级下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个节点（包含y和z），所以，我们在k-1级索引中最多只需要遍历3个节点，以此类推，每一级索引都最多只需要遍历3个节点。所以m=3。因此在跳表中查询某个数据的时间复杂度就是O(logn)。

三、跳表的空间复杂度

跳表通过建立索引，来提高查找元素的效率，就是典型的“空间换时间”的思想，所以在空间上做了一些牺牲。

1.计算索引的节点总数

如果链表有n个节点，每2个节点抽取抽出一个节点作为上一级索引的节点，那每一级索引的节点数分别为：n/2，n/4，n/8，…，8，4，2，等比数列求和n-1，所以跳表的空间复杂度为O(n)。

2.如何优化时间复杂度

如下图所示：如果每三个结点抽一个结点做为索引，索引总和数就是 n/3 + n/9 + n/27 + … + 9 + 3 + 1= n/2，减少了一半。所以我们可以通过较少索引数来减少空间复杂度，但是相应的肯定会造成查找效率有一定下降，我们可以根据我们的应用场景来控制这个阈值，看我们更注重时间还是空间。

四、高效的动态插入数据，删除数据

1）插入数据

跳表本质上就是链表，所以仅插作，插入和删除操时间复杂度就为O(1)，但在实际情况中，要插入或删除某个节点，需要先查找到指定位置，而这个查找操作比较费时，但在跳表中这个查找操作的时间复杂度是O(logn)，所以，跳表的插入和删除操作的是时间复杂度也是O(logn)。

2）删除数据

跳表删除数据时，要把索引中对应节点也要删掉。如下图所示，如果要删除元素 9，需要把原始链表中的 9 和第一级索引的 9 都删除掉。

删除元素的过程跟查找元素的过程类似，只不过在查找的路径上如果发现了要删除的元素 x，则执行删除操作。跳表中，每一层索引其实都是一个有序的单链表，单链表删除元素的时间复杂度为 O(1)，索引层数为 logn 表示最多需要删除 logn 个元素，所以删除元素的总时间包含 查找元素的时间 加 删除 logn个元素的时间 为 O(logn) + O(logn) = 2 O(logn)，忽略常数部分，删除元素的时间复杂度为 O(logn)。

五、跳表索引动态更新？

当往跳表中插入数据的时候，可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中，那么如何选择这个索引层呢？

可以通过随机函数来决定将这个节点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那就可以把这个节点添加到第1级到第K级索引中。