- 并查集解决最短路径
个人认为，最短路径问题大致可分为以下两种
-
畅通工程
Problem Description
省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。Input
测试输入包含第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 100 )；随后的 N
行对应村庄间道路的成本，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简单起见，村庄从1到M编号。Output
对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的最低成本。若统计数据不足以保证畅通，则输出“-1”。看到畅通工程，我们容易想到最小生成树（一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。）问题，既保证任意两个村庄之间有道路连通就行，权最小，既成本最低。
问： 既然要使最终成本最低，根据贪心算法，那我们每次都选取成本最低的一条路，并将已选取的路径合并，最终连通所有村庄，那成本是不是最低呢？这里，我们引入并查集
并查集
并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。
我们先来看以下几个集合
集合1{A,B,C}，集合2{E,F}，集合3{A,E}
我们使用树结构来表示上述集合
那么要判断两个集合任两个字母a,b是否在一个集合中，只要判断他们是否在一个树中，既所在树的根节点一致（root(a)==root(b)），那么我们使用一个数组arr来表示每个字母的父节点,根节点的父亲为-1，则集合2可表示为
| E | F |
|---|---|
| -1 | E |
问：那如何合并两个集合呢？
我们可以将其中一个集合变成另一个集合的子树，既将其根节点指向另一树的根节点，那么合并之后的树为
查找算法优化——路径优化
如上，集合直接合并也有一个大的隐患。根据前文所述，对两个集合合并主要的操作就是查找节点的根节点，我们的查找策略是不断的去查找节点的父亲节点，直至父节点为-1，那么这个过程所消耗的时间就与树的高度息息相关。当节点数量大到一点数量的时候，查找将是一个及其耗时的操作，所以，我们必须在将两颗树合并的时候进行某些操作——在查找过程中，将当前节点与根节点之间的所有节点直接指向根节点，这个过程称为路径压缩，经过路径压缩之后，树结构变为
经过路径压缩之后，树结构得到优化，树高保持为1而且不影响查找操作。到这里，相信读者对并查集已经有了大致的了解，但如何编写相应的代码呢？
代码实现
首先，一个数组来描述所有节点的父节点（节点总数为N）
int parent[N]
其次，查找任意节点根节点（不断查找节点的父节点），我们通过递归来实现
//n——需要查找的节点
int findRoot(int n){
if(parent[n]==-1){ //父节点为-1，此节点为根节点，返回
return n;
}
findRoot(parent[n]);
}
经过路径压缩
int findRoot(int n){
if(parent[n]==-1){
return n;
}
int par=findRoot(parent[n]);
parent[n]=par; //路径压缩，将当前节点的父亲指向返回的根节点
return par;
}
好了，到这里，我们可以试着用以上所学知识来解决畅通工程问题了。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
/*
畅通工程
*/
struct load{ //修路结构体
int a; //a,b路两端的两个村庄
int b;
int price; //价格
bool operator<(const load&A) const{ //重载<运算符，根据price从小到大排序
return price<A.price;
}
}loads[5000]; //村庄数<100,估算路最多为4950
int parent[100]; //记录节点父亲的数组
int findRoot(int n){
if(parent[n]==-1){
return n;
}else{
int par=findRoot(parent[n]);
parent[n]=par;
return par;
}
}
int main(){
int n,m; //n-道路条数，m-村庄个数
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<m;i++){ //开始时各个节点独立，所以初始化节点父亲为-1
parent[i]=-1;
}
for(int i=0;i<n;i++){ //输入道路信息
cin>>loads[i].a;
cin>>loads[i].b;
cin>>loads[i].price;
}
sort(loads,loads+n); //排序
int prices=0; //统计价格
for(int i=0;i<n;i++){
int x=findRoot(loads[i].a);
int y=findRoot(loads[i].b);
if(x!=y){ //不属于同一集合，合并
parent[y]=x;
prices+=loads[i].price;
}
}
cout<<prices<<endl;
}
- 旅游类
问：那旅游类最短消费问题和畅通工程又有什么不同呢？
结合实际，我们可以理解：畅通工程，只要满足任意两个节点之间连通即可，但就旅游来说，我们在游历完所有地点的前提下，一个地点我们只能游历一遍，不可能再经过一次。比如我们给出路径图A-B： 2，B-C：4，B-D：4，C-D：7
如果是畅通工程，我们构造的树结构为
既我们构造的树结构除根节点与叶子节点，每个节点只能有一个父亲节点和一个儿子节点