leetcode300 最长上升子序列 ★（没自己做出来）

补充一个动态规划的思路。

分析：首先仔细审题，明确题目中的条件。

1、子序列：不要求连续子序列，只要保证元素前后顺序一致即可；

2、上升：这里的“上升”是“严格上升”，类似于 [2, 3, 3, 6, 7] 这样的子序列是不符合要求的；

一个序列可能有多个最长上升子序列，题目中只要我们求这个最长的长度。如果使用回溯搜索，选择所有的子序列进行判断，时间复杂度为 $O( (2^n) * n )$。

定义状态：LIS(i) 表示以第 i 个数字为结尾的最长上升子序列的长度。即在 [0, ..., i] 的范围内，选择以数字 nums[i] 结尾可以获得的最长上升子序列的长度。关键字是：以第 i 个数字为结尾，即我们要求 nums[i] 必须被选取。反正一个子序列一定要以一个数字结尾，那我就将状态这么定义，这一点是重要且常见的。

状态转移方程：遍历到索引是 i 的数的时候，我们应该把索引是 [0, ... ,i - 1] 的 LIS 都看一遍，如果当前的数 nums[i] 大于之前的某个数，那么 nums[i]就可以接在这个数后面形成一个更长的 LIS 。把前面的 i 个数都看了， LIS[i] 就是它们的最大值加 $1$。即比当前数要小的那些里头，找最大的，然后加 $1$ 。

状态转移方程即：LIS(i) = max( 1 + LIS(j) if j < i and nums[i] > nums[j])

最后不要忘了，应该扫描一遍这个 LIS[i] 数组，其中最大的就是我们所求的。

Python 代码：关键：找它前面比他小的那些数中最大的

class Solution:

    # 动态规划的思路：将 dp 数组定义为：以 nums[i] 结尾的最长上升子序列的长度
    # 那么题目要求的，就是这个 dp 数组中的最大者
    # 以数组  [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18] 为例：
    # dp 的值： 1  1  1  2  2  3  4    4

    def lengthOfLIS(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        size = len(nums)
        if size <= 1:
            return size
        dp = [1] * size
        for i in range(1, size):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    # + 1 的位置不要加错了
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        # 最后要全部走一遍，看最大值
        return max(dp)

leetcode300 最长上升子序列 ★（没自己做出来）

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