线性空间
线性空间又称为向量空间。 线性空间满足两大预算运算：
- 加法运算
- 纯量乘法运算
这两个运算有8个特性：
- 加法交换性
- 加法结合性\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)
- 加0得到自身（零元性）
- 负元素性
- 乘1得到自身
- 乘法结合律
- 乘法交换律\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)
- 乘法交换律\(k(\alpha+\beta)+k\alpha+k\beta\)
内积空间
又称为 酉空间。 增加点积结构的向量空间。允许我们谈论向量的角度与长度。内积空间也叫准Hilbert空间，由内积定义的距离完备化以后就会得到一个Hilbert空间。
满足以下的条件：
1. 共轭对称性\(<x,y>\) =\(\overline{ <y,x>}\)
2. 第一变元线性性\((\alpha x+\beta y ,z)=\alpha(x,z)+\beta(y,z)\)
3. 正定性\(\Vert x \Vert =0 \Leftrightarrow x=0\)
赋范线性空间
引入范数的线性空间。满足三大性质的线性空间称为赋范线性空间：
1. \(\Vert x \Vert =0\Leftrightarrow x=0\)
2. \(\Vert \lambda x\Vert=|\lambda|\Vert x\Vert\)
3. 三角不等性\(\Vert x+y\Vert \le \vert x\Vert+\vert y\Vert\)