0-问题引入
有一个数组，里面是互不相同的\(n\)个元素，请在其中取出\(m(m\le n)\)个元素（无视顺序），求有几种取法？
I-定义
上题的答案表示为：\(C_n^m\)。
\(C_n^m\)是什么意思呢？
我们定义：\[C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\]。
并统一定义，\(C_n^0=C^n_n=C^0_0=1\)。
II-性质
\[C_n^m=C_{(n-m)}^m(\texttt{互补性质})\]
\[C_n^m=C_{(n-1)}^{(m-1)}+C_{(n-1)}^{m}\]
组合数表：
没错就是杨辉三角。
III-应用
III-1 路径计数
在一个\((n\times m)\)的棋盘上\((1\le n,m\le 10^4)\)，从左下角走到右上角，每次可以向右或上走一步，求方案总数。
【分析】
针对每种方案，一定有\(n\)次向上的操作，而共需走\(n+m\)次，因此在\(n+m\)中取\(n\)个即可。
【答案】\(C_{(n+m)}^n\)
III-2 方程的解
求方程\(x_1+x_2+...+x_n=k\)的非负整数解总数。
其中\(x_i>=y_i(y_i>=0)\)。
【分析】
首先，我们看一个小问题：
求方程\(x_1+x_2+x_3+x_4=10\)的正整数解总数。
其实，我们将\(10\)分解为\(10\)个\(1\)，那么，我们就可以在这\(10\)个\(1\)中插\(3\)个“隔板”隔开这些1。
一组解：[1 1|1|1 1 1 1 1|1 1]，此时x1=2,x2=1,x3=5,x4=2。现在，我们的问题就是插隔板的方案数。
此处共有\(10-1\)处地方可以插隔板，答案显而易见为\(C_9^3\)
推广为\(n\)个未知数，总和为\(k\)，那么答案为\(C_{(k-1)}^{(n-1)}\)
但如果是非负整数呢？
很简单，只要在\("1"\)中再插入\(n\)个一即可，即将\(k\)变为\(k+n\)，再将其视为正整数解求即可。
原理：设\(a_i=x_i+1,b=k+n\)
那么则有：\(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i =b\)。
而上面这个方程的正整数解数和\(x_1+x_2+...+x_n=k\)的非负整数解数是相同的。
所以我们用换元的思想解出了这个问题:\(C_{(n-1)}^{(k+n-1)}\)（隔板一直是\(n-1\)个）。
好了，我们重审本题。
其实就是比上面的问题多了一个限制。
转化方程为：\(x_1+x_2+...+x_n=k+\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\)
解法同上，答案：\(C_{(k+\sum_{i=1}^{n}y_i+1)}^{(n-1)}\)
IV-计算Code
template<typename T1,typename T2>inline T1 combination(T1 m,T1 n,T2 mod)
{
if(m==0||n==m)return 1%mod;
return (combination(m-1,n-1,mod)%mod+combination(m,n-1,mod)%mod)%mod;
}