含义是：若存在常数 $c_1$ 和 $c_2$ ，使得对于足够大的 $n$ ，函数 $f(n)$ 能够"夹入 $c_1g(n)$ 和 $c2g(n)$ 之间，则 $f(n)$ 属于集合 $\Theta(g(n))$ 。我们称 $g(n)$ 为 $f(n)$ 的一个渐近紧确界（asymptotially tight bound）。

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注意： $\Theta(g(n))$ 是一个函数的集合，所以如果要表示 $f(n)$ 是 $\Theta(g(n))$ 的一员，则需写为 $f(n)\in \Theta(g(n))$ ，但是在很多教材中，通常使用 $f(n)=\Theta(g(n))$ 来表示相同的概念，这属于对于等式的一个活用。

下图形象地表示了渐近紧确界的形式：

3.1.2 $O$ 记号

定义：对于一个给定的函数 $g(n)$ ，用 $O(g(n))$ 来表示以下函数的集合：

$：存在正常量和，使得对所有有O(g(n))=\{f(n)：存在正常量c和n_0，使得对所有n\geq n_0,有0\leq f(n)\leq cg(n)\}$

含义是：对于足够大的 $n$ ， $f(n)$ 的值总小于或等于 $cg(n)$ 。我们称 $g(n)$ 为 $f(n)$ 的一个渐近上界（asymptotic upper bound）。

注意：在很多教材中，会发现用 $O(g(n))$ 来表示一个渐近紧确界，即 $\Theta(g(n))$ 表示的含义，这是不准确的，在算法文献中，标准的做法是区分渐近上界和渐近紧确界。

下图形象地表示了渐近上界的形式：

3.1.3 $\Omega$ 记号

定义：对于一个给定的函数 $g(n)$ ，用 $\Omega(g(n))$ 来表示以下函数的集合：

$：存在正常量和，使得对所有有\Omega(g(n))=\{f(n)：存在正常量c和n_0，使得对所有n\geq n_0,有0\leq cg(n)\leq f(n)\}$

含义是：对于足够大的 $n$ ， $f(n)$ 的值总大于或等于 $cg(n)$ 。我们称 $g(n)$ 为 $f(n)$ 的一个渐近下界（asymptotic lower bound）。

下图形象地表示了渐近下界的形式：

3.1.4 $o$ 记号和 $\omega$ 记号

$o$ 记号

定义：对于一个给定的函数 $g(n)$ ，用 $o(g(n))$ 来表示以下函数的集合：

$：对任何正常量，存在常量，使得对所有有o(g(n))=\{f(n)：对任何正常量c>0，存在常量n_0>0，使得对所有n\geq n_0,有0\leq f(n)\leq cg(n)\}$

含义可类比于 $O(g(n))$ ，但表现的是一个非渐进紧确的上界。理解为 $f(n)$ 比 $g(n)$ 低一级幂次。如 $2n$ 和 $3n^2$ 。

$\omega$ 记号

定义：对于一个给定的函数 $g(n)$ ，用 $\omega(g(n))$ 来表示以下函数的集合：

$：对任何正常量，存在常量，使得对所有有\omega(g(n))=\{f(n)：对任何正常量c>0，存在常量n_0>0，使得对所有n\geq n_0,有0\leq cg(n)\leq f(n)\}$

含义可类比于 $\Omega(g(n))$ ，但表现的是一个非渐进紧确的下界。理解为 $f(n)$ 比 $g(n)$ 高一级幂次。如 $2n^3$ 和 $3n^2$ 。

3.2常用函数性质总结

（1）对任意整数n，存在以下性质：

（2）对于某个常量k，如果存在，则称函数 $f(n)$ 为多项式有界的。

（3）多项式与指数的增长率可以通过以下事实相关联。对于所有使得 $a>1$ 的实常量a和b，有

据此可知

因此，任意底大于1的指数函数增长都比多项式函数快。

（4）在（3）的第一个等式中，用 $lgn$ 代替 $n$ ，并用 $2^a$ 代替 $a$ ，可以使得多项式与多对数的增长相互关联：

可以得到，对于任意常量 $a>0$ ，有

因此，任意正的多项式函数都比任意多对数函数增长快。

（5）阶乘函数的弱上界为 $n!<=n^n$ ，因为在 $n$ 的阶乘中， $n$ 的每项最多为 $n$ 。斯特林近似公式给出了一个更紧确的上界和下界：

习题

3.1节练习

习题3.1-1

假设 $f(n)$ 与 $g(n)$ 都是渐进非负函数。利用 $\Theta$ 记号的基本定义来证明 $max(f(n),g(n))=\Theta(f(n)+g(n))$ 。

存在 $c_1=1/2$ 时， $，max(f(n)，g(n)\geq 1/2(f(n)+g(n)$

存在 $c_2 = 1$ 时， $，max(f(n)，g(n)\leq (f(n)+g(n)$

所以根据 $\Theta$ 记号的基本定义， $，max(f(n)，g(n)=\Theta (f(n)+g(n)$ 。得证。

习题3.1-2

证明：对任意实常数 $a$ 和 $b$ ，其中 $b>0$ ，有 $(n+a)^b=\Theta(n^b)$ 。

$(n+a)^b = n^b + c_1 n^{b-1} + c_2 n^{b-2} + \cdots + a^b=n^b+\Theta(n^{b-1})=\Theta (n^b)$

习题3.1-3

解释为什么 “算法A的运行时间至少是 $O(n^2)$ ” 这一表述是无意义的。

记号 $O()$ 表述的是算法运行时间的渐近上界。即，记号 $O()$ 表述的是算法运行时间的最坏情况。而对于部分算法，如插入排序，在输入为增序排列的数组下运行时间为 $O(n)$ 。因此这种表述是无意义的。

习题3.1-4

$2^{(n+1)}=O(2^n)$ 成立吗？ $2^{(2n)}=O(2^n)$ 成立吗？

1）证明：存在 $c=2, n_0>0$ 使得 $对于所有0 \le 2^{n+1} \le c2^n 对于所有n \ge n_0$ $2^{2n} = O(2^n)$ ，成立。

2）要使其成立，则 $c=\frac{2^{2n}}{2^n}=2^n$ 。c为正常数，则在n趋于无穷大时，c也趋于无穷大。不存在这样的正常数c。因此不成立。

习题3.1-5

证明定理3.1 $对任意两个函数和，我们有，当且仅当且对任意两个函数f(n)和g(n)，我们有f(n)=\Theta(g(n))，当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)=\Omega(g(n))$ 。

由 $f(n)=O(g(n))$ 得当 $n\geq n_1$ 时， $0\leq f(n)\leq c_1g(n)$

由 $f(n)=\Omega(g(n))$ 得当 $n\geq n_2$ 时， $0\leq c_2g(n)\leq f(n)$

所以，当 $n>=max(n_1,n_2)$ 时， $0\leq c_2g(n)<=f(n)<=c_1g(n)$ ，满足渐近确界定义，得证。

习题3.1-6

证明：一个算法的运行时间是 $\Theta(g(n))$ 当且仅当其最坏情况运行时间 $O(g(n))$ ，且最佳情况运行时间是 $\Omega(g(n))$ 。

最坏情况下复杂度为 $O(g(n))$ 说明所有情况时间复杂度为 $O(g(n))$ ，最好情况下时间复杂度为 $\Theta(g(n))$ 说明所有情况时间复杂度为 $\Omega(g(n))$ ，根据定理3.1得算法时间复杂度为 $\Theta (g(n))$

习题3.1-7

证明 $o(g(n))\cap \omega(g(n))$ 是空集。

$f(n)=o(g(n))$ 说明对于任意正常数 $c,n_0$ ，对于所有的 $n \ge n_0$ 都有 $对于所有0 \le f(n) < cg(n) 对于所有n \ge n_0$ 。这时假设 $f(n)=\omega (g(n))$ ，说明对于任意正常数 $c,n_0$ ，对于所有的 $n \ge n_0$ 都有 $0 \le cg(n) < f(n)$ 然而这样的常数c是存在的，故产生矛盾，可得 $o(g(n)) \cap \omega (g(n)) =\varnothing$ 。

习题3.1-8

可以将我们的表示法扩展到有两个参数n和m的情形，其中 $n$ 和 $m$ 的值可以以不同的速率，互相独立地趋于无穷。对给定的函数 $，g(n,m)，O(g(n,m))$ 为函数集

$存在正整数和，使对所有或，有O(g(n,m))=\{f(n,m): 存在正整数c,n_0和m_0，使对所有n\geq n_0或m\geq m_0，有0\leq f(n,m)\leq cg(n,m)\}$

给出对应的 $\Omega(g(n,m))$ 和 $\Theta(g(n,m))$ 的定义。

$存在正整数和，使对所有或，有\Omega(g(n,m))=\{f(n,m): 存在正整数c,n_0和m_0，使对所有n\geq n_0或m\geq m_0，有0\leq cg(n,m)\leq f(n,m)\}$

2) $存在正整数和，使对所有或有\Theta(g(n,m))=\{f(n,m): 存在正整数c_1,c_2,n_0和m_0，使对所有n\geq n_0或m\geq m_0, 有c_1g(n,m)\leq f(n,m)\leq c_2g(n,m)\}$

3.2节练习

习题3.2-1

证明：若 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是单调递增的函数，则函数 $f(n)+g(n)$ 和 $f(g(n))$ 也是单调递增的，此外，若 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是非负的，则 $f(n)\cdot g(n)$ 是单调递增的。

由于 $f(n)$ 和 $g(n)$ 单调递增，所以对于任意 $x_1 < x_2$ ，都有 $f(x_1) < f(x_2)$ ， $g(x_1) < g(x_2)$ 所以 $f(x_1)+g(x_1) < f(x_2)+g(x_2)$ ， $f(g(x_1)) < f(g(x_2))$ 。如果当f(x)和g(x)都非负时显然有 $f(x_1)*g(x_1) < f(x_2)*g(x_2)$ 。故均得证。

习题3.2-2

证明等式3.16 $\LARGE{a^{\log_bc} = c^{\log_ba}}$ 。

$\lg {a^{\log_bc}}=\log_bc \lg a=\frac {\lg a \lg c} {\lg b}$ ， $\lg {c^{\log_ba}}=\log_ba \lg c=\frac {\lg a \lg c} {\lg b}$ $\Rightarrow a^{\log_bc} = c^{\log_ba}$ 。（取下幂次，得证。）

习题3.2-3

证明等式3.19 $lg(n!)=\Theta(nlgn)$ 。并证明 $n!=\omega (2^n)$ 且 $n!=o(n^n)$ 。

证明 $\lg {(n!)} = \Theta (n \lg n)$ ： $\lg {n!} = \sum_{i=1}^n{\lg i} < \sum_{i=1}^n{\lg n} = n \lg n$ $\sum_{i=1}^n{\lg i} = \sum_{i=1}^{n/2} {[\lg i + \lg {(n-i)}]} = \sum_{i=1}^{n/2} {[\lg {i (n-i)}]} > \sum_{i=1}^{n/2} {\lg {\frac {n^2}{4}}} = n \lg n - n > \frac 12 n \lg n$ $\Rightarrow \lg {(n!)} = \Theta (n \lg n)$

证明 $n! = \omega (2^n)$ ： $当时，\because 当n > 4时，i (n-i) > 2^2$ $\therefore n! = \prod_{i=1}^{n/2} {i (n-i)} > \prod_{i=1}^{n/2} {2^2} = 2^n$ $\therefore n! = \omega (2^n)$

证明 $n! = o (n^n)$ ： $当时，\because 当n > 1时，n! = \prod_{i=1}^n i < \prod_{i=1}^n n = n^n$ $\therefore n! = o (n^n)$

习题3.2-4

函数 $\lceil \lg n \rceil!$ 多项式有界吗？函数$ \lceil \lg {\lg n} \rceil ! $多项式有界吗？

证明 $f(n)$ 是否多项式有界等价于证明 $\lg {f(n)} = O (\lg n)$ ，这是因为如果 $f(n)$ 多项式有界，则存在正常数 $c,k,n_0$ 使得对于所有的 $n > n_0$ 都有 $f(n) < c n^k$ ，即 $\lg {f(n)} < k c \lg n$ ，所以 $\lg {f(n)} = O (\lg n)$ ，反之亦然。
对于 $\lceil \lg n \rceil !$ 我们有 $\lg {(\lceil \lg n \rceil !)} = \Theta (\lceil \lg n \rceil \lg {\lceil \lg n \rceil}) \geq \Theta (\lg n \lg {\lg n}) = \omega (\lg n)$ 。 $\lceil \lg n \rceil !$ 非多项式有界

对于 $ \lceil \lg {\lg n} \rceil ! $ 我们有 $KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\eqalign' at position 1: \̲e̲q̲a̲l̲i̲g̲n̲ ̲{ & \lg {(\lcei…$ 。 $ \lceil \lg {\lg n} \rceil ! $ 多项式有界

习题3.2-5

如下两个函数中，哪一个渐近更大些： $\lg(\lg^* n)$ 还是 $\lg^*(\lg n)$ 。

将 $\lg^*(n)$ 看成一个整体，那么$ \lg^(\lg(n))$ 就是先对 $n$ 求了一次对数，因此$ lg^(lg(n)) = lg^*(n) - 1$。

故： $当时\lg^* {\lg n} = \lg^* n - 1 > \lg {\lg^* n},当\lg^* n > 2时$

习题3.2-6

证明：黄金分割率 $\phi$ 及其共轭数 $\hat \phi$ 都满足方程 $x^2=x+1$ 。

$\phi ^2 = (\frac {1+\sqrt 5} {2})^2 = \frac {3 + \sqrt5} {2} = \phi + 1$ 。 $\hat {\phi} ^2 = (\frac {1-\sqrt 5} {2})^2 = \frac {3 - \sqrt5} {2} = \hat {\phi} + 1$

习题3.2-7

用归纳法证明：第 $i$ 个斐波那契数满足等式 $\LARGE F_i=\frac {\phi ^i -\hat\phi^i}{\sqrt5}$ 。其中 $\phi$ 是黄金分割率且 $\hat\phi$ 是其共轭数。

证明：
当i = 0时， $\frac {\phi ^0 - \hat {\phi}^0}{\sqrt 5} = 0 = F_0$ 当i = 1时， $\frac {\phi ^1 - \hat {\phi}^1}{\sqrt 5} = 1 = F_1$

假设当i = k-1和i = k时都满足公式，则当i = k+1， $F_{k+1}=F_k + F_{k-1} = \frac {(\phi ^k + \phi ^{k-1}) - (\hat {\phi}^k+\hat {\phi}^{k-1})}{\sqrt 5}=\frac {\phi^{k-1}(\phi + 1)-\hat {\phi}^{k-1}(\hat {\phi} + 1)}{\sqrt 5}$ ，因为 $(\phi+1)=\phi^2$ 且 $(\hat\phi+1)=\hat\phi^2$

得 $\frac {\phi^{k-1}(\phi + 1)-\hat {\phi}^{k-1}(\hat {\phi} + 1)}{\sqrt 5}=\frac {\phi ^{k+1} - \hat {\phi}^{k+1}}{\sqrt 5}$ 。得证。

习题3.2-8

证明： $k\ln k=\Theta(n)$ 蕴涵着 $k=\Theta(n/\ln n)$ 。

这题要用到性质 $g(n) = \Theta (f(n)) \Leftrightarrow f(n) = \Theta (g(n))$ ，所以 $k \ln k = \Theta (n) \Leftrightarrow n = \Theta (k \ln k)$ ，要证 $k = \Theta (n / \ln n)$ 等价于证 $n / \ln n = \Theta (k)$ ，代入条件得 $\frac {n}{\ln n} = \Theta (\frac {k \ln k} {\ln {(k \ln k})}) = \Theta (\frac {k \ln k} {\ln k}) = \Theta (k)$

思考题

3-1（多项式的渐近行为）

假设 $p(n)=\sum^d_{i=0}a_in^i$ 是一个关于 $n$ 的 $d$ 次多项式，其中 $a_d>0$ ， $k$ 是一个常量。使用渐近记号的定义来证明下面的性质。

a. 若 $k\ge d$ ，则 $p(n)=O(n^k)$ 。

b. 若 $k\le d$ ，则 $p(n)=\Omega(n^k)$ 。

c. 若 $k=d$ ，则 $p(n)=\Theta(n^k)$ 。

d. 若 $k> d$ ，则 $p(n)=o(n^k)$ 。

e. 若 $k< d$ ，则 $p(n)=\omega(n^k)$ 。

a. $P(n) = \sum_{i=0}^d {a_i n^i} = n^d \sum_{i=0}^d {a_i n^{i-d}} \le n^d \sum_{i=0}^d {a_i} \le cn^d\le cn^k$ ，得证。

b. $P(n) = \sum_{i=0}^d {a_i n^i} \ge n^d \ge cn^d\ge cn_k$ ，得证。

c. 由前两问可证。

d. $P(n) = \sum_{i=0}^d {a_i n^i} = n^d \sum_{i=0}^d {a_i n^{i-d}}< n^d \sum_{i=0}^d {a_i} <cn^d\le cn^k$ ，得证

e. $P(n) = \sum_{i=0}^d {a_i n^i} >n^d > cn^d> cn_k$ ，得证。

3-2（相对渐近增长）

为下标中的每对表达式（A，B）指出A是否是B的 $、、、或O、o、\Omega、\omega或\Theta$ 。假设 $、且k\ge1、\epsilon>0且c>1$ 均为常量。回答应该以表格的形式，将"是"或"否"写在每个空格中。

A	B	$O$	$o$	$\Omega$	$\omega$	$\Theta$
$\lg^k n$	$n^{\epsilon}$	否	否	是	是	否
$n^k$	$c^n$	否	否	是	是	否
$\sqrt n$	$n^{\sin n}$	否	否	否	否	否
$2^n$	$2^{n/2}$	是	是	否	否	否
$n^{\lg c}$	$c^{\lg n}$	是	否	是	否	是
$\lg {(n!)}$	$\lg {(n^n)}$	是	否	是	否	是

3-3（根据渐近增长率排序）

a.根据增长的阶来排序下面的函数，即求出满足 $g_1=\Omega(g_2)$ ， $，g_2=\Omega(g_3)，\cdots$ ， $g_{29}=\Omega(g_{30})$ 的函数的一种排列 $g_1,g_2,\cdots,g_{30}$ 。把你的表划分成等价类，使得函数 $f(n)$ 和 $g(n)$ 在相同类中当且仅当 $f(n)=\Theta(g(n))$ 。

$\lg(\lg^*n)$	$2^{\lg^n}$	$(\sqrt{2})^{\lg{n}}$	$n^2$	$n!$	$(\lg{n})!$
$(\frac{3}{2})^n$	$n^3$	$\lg^2{n}$	$\lg(n!)$	$2^{2^n}$	$n^{1/\lg{n}}$
$\ln{\ln{n}}$	$\lg^n$	$n \cdot 2^n$	$n^{\lg\lg{n}}$	$\ln{n}$	$1$
$2^{\lg{n}}$	$(\lg{n})^{\lg{n}}$	$e^n$	$4^{\lg{n}}$	$(n + 1)!$	$\sqrt{\lg{n}}$
$\lg^*(\lg{n})$	$2^{\sqrt{2\lg{n}}}$	$n$	$2^n$	$n\lg{n}$	$2^{2^{n + 1}}$

$2^{2^{n+1}} > 2^{2^n} > (n+1)! > n! > e^n > n 2^n > 2^n > (3/2)^n > (\lg n)^{\lg n} = n^{\lg {\lg n}} > (\lg n)!$ $> n^3 > n^2 = 4^{\lg n} > n \lg n= \lg {(n!)} > n = 2^{\lg n} > (\sqrt 2)^{\lg n} = \sqrt n > 2^{\sqrt {2\lg n}} > \lg^2 n > \ln n$ $> \sqrt {\lg n} > \ln {\ln n} > 2^{\lg^* n} > \lg^* n = \lg^*{(\lg n)} > \lg {(\lg^* n)} > n^{1/ \lg n} =1$

b.给出非负函数 $f(n)$ 的一个例子，使得对所有在 $(a)$ 部分中的函数 $，g_i(n)，f(n)$ 既不是 $O(g_i(n))$ 也不是 $\Omega(g_i(n))$ 。

b. 非连续性函数或者震荡函数就能满足要求，比如 $KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\cases' at position 6: f(n)=\̲c̲a̲s̲e̲s̲ ̲{ n, & $-1^n > …$ 或 $\LARGE(2^{2^{2n+1}})^{sinx}$

3-4渐近记号的性质

假设 $f(n)$ 和 $g(n)$ 为渐近正函数。证明或反驳下面的每个猜测。
a. $f(n)=O(g(n))$ 蕴含 $g(n)=O(f(n))$ 。

错误。反例： $n=O(n^2)$ ，而 $n^2 \ne O(n)$ 。

b. $f(n)+g(n)=\Theta(\min(f(n),g(n)))$ 。

错误。反例： $n+n^2\ne \Theta(\min (n, n^2)) =\Theta(n)$

c. $f(n)=O(g(n))$ 蕴含 $\lg(f(n))=O(\lg(f(n)))$ ，其中对所有足够大的 $n$ ，有 $\lg(g(n))\ge 1$ 且 $f(n)\ge1$ 。

正确。 $f(n)\ge1$ 且 $f(n)=O(g(n))$ ，即存在 $c,n_0>0$ 使得任意 $n>n_0$ 有 $0 \leq f(n) \leq cg(n) \Rightarrow 0 \leq \lg{f(n)} \leq \lg(cg(n)) = \lg{c} + \lg{g(n)}$

因为 $\lg(g(n))\ge1$ ，当 $c'=\lg{c} +1$ ， $n_0'$ 足够大，有
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \lg{f(n)} &\le…$

即有 $\lg(f(n)) = O(lg(g(n)))$ 。

d. $f(n)=O(g(n))$ 蕴含 $2^{f(n)}=O(2^{g(n)})$ 。

错误。反例： $2n = O(n)$ 但 $2^{2n} = 4^n \neq O(2^n)$ 。

e. $f(n)=O((f(n))^2)$ 。

$，n>n_0，f(n)\ge 1$ 正确。 $f(n)\le cf(n)\le c(f(n))^2$ 。否则错误。

f. $f(n)=O(g(n))$ 蕴含 $g(n)=\Omega(f(n))$ 。

正确。 $0\le f(n)\le cg(n)\Rightarrow cg(n)\ge f(n)\ge 0\Rightarrow g(n)\ge (1/c)f(n)\ge 0$ 。得证。

g. $f(n)=\Theta(f(n/2))$ 。

错误。反例： $2^n = \Theta(2^n) = \omega(2^{n/2})$

h. $f(n)+o(f(n))=\Theta(f(n))$ 。

正确， $g(n)=o(f(n))$ 表明存在正常数 $n_0$ 对于任意正常数 $c$ ，对所有 $n \ge n_0$ 都有 $g(n) < f(n)$ ，所以对于所有 $n \ge n_0$ 都有 $f(n)+o(f(n))) < f(n) + f(n) = 2f(n)$ ，得证。

3-5 $O$ 与 $\Omega$ 的一些变形

某些作者用一种与我们稍微不同的方式来定义 $\Omega$ ：假设我们使用 $\overset{\infty}{\Omega}$ （读作“ $\Omega$ 无穷”）来表示这种可选的定义。若存在正常量 $c$ ，使得对无穷多个整数 $n$ ，有 $f(n)\ge cg(n)\ge 0$ ，则称 $f(n) =\overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ 。
a.证明：对渐近非负的任意两个函数 $f(n)$ 和 $g(n)$ ，或者 $f(n)=O(g(n))$ 或者 $f(n)=\overset{\infty}{\Omega}(g(n))$ 或者二者均成立，然而，如果使用 $\Omega$ 来替代 $\overset{\infty}{\Omega}$ ，那么该命题不为真。

反例： $n = \overset{\infty}{\Omega}(n^{\sin{n}})$ ，但 $n \neq \Omega(n^{\sin{n}})$ 。 $\overset{\infty}{\Omega}$ 无法约束震荡函数。

b.描述用 $\overset{\infty}{\Omega}$ 代替 $\Omega$ 来刻画程序运行时间的潜在优点与缺点。

优点： $\overset{\infty}{\Omega}$ 对下界要求更松，兼容的更多的情况；缺点：导致非严格的渐进下界。因此实际意义并不大。

某些作者也用一种稍微不同的方式来定义 $O$ ；假设使用 $O'$ 来表示这种可选的定义。我们称 $f(n)=O'(g(n))$ 当且仅当 $|f(n)|=O(g(n))$ 。
c.如果使用 $O'$ 代替 $O$ 但仍然使用 $\Omega$ ，定理3.1中的"当且仅当"的每个方向将出现什么情况？

$O'$ 的约束更弱了。定理3.1只能是充分条件不是必要条件了，因为 $f(n)\ge cg(n)$ 可以推出 $|f(n)|\ge cg(n)$ 但是 $|f(n)|\ge cg(n)$ 不能推出 $f(n)\ge cg(n)$ 。

有些作者定义KaTeX parse error: Expected group after '\tilde' at position 7: \tilde\̲O̲（读作“软O”）来意指忽略对数因子的 $O$ ：
- $KaTeX parse error: Expected '}', got '\O' at position 21: …和，使得对所有有\tilde{\̲O̲}(g(n))=\{f(n):…$
d.用一种类似的方式定义 $\tilde{\Omega}$ 和 $\tilde{\Theta}$ 。证明与定理3.1相对应的类似结论。

$KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\eqalign' at position 3: 对有\̲e̲q̲a̲l̲i̲g̲n̲ ̲{ \tilde \Omega…$ $KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\eqalign' at position 3: 对有\̲e̲q̲a̲l̲i̲g̲n̲ ̲{ \tilde \Theta…$ 定理3.1由定义可知。

3-6多重函数

我们可以把用于 $\lg^*$ 中的重复操作符 $*$ 应用于实数集上的任意单调递增函数 $f(n)$ 。对给定的常量 $c\in \mathbb{R}$ ，我们定义多重函数 $f_c^*$ 为 $f_c^*(n)=\min\{i\ge0:f^{(i)}(n)\le c\}$ 。该函数不必在所有情况下都为良定义的。换句话说，值 $f_c^*(n)$ 是为缩小其参数到 $c$ 或更小所需函数 $f$ 重复应用的数目。对如下每个函数 $f(n)$ 和常量 $c$ ，给出 $f_c^*(n)$ 的一个尽量准确的界。

$f(n)$	$c$	$f^∗_c(n)$
$n−1$	$0$	$\Theta(n)$
$\lg n$	$1$	$\Theta(\lg^∗n)$
$n/2$	$1$	$\Theta(\lg n)$
$n/2$	$2$	$\Theta(\lg n)$
$\sqrt n$	$2$	$\Theta(\lg \lg n)$
$\sqrt n$	$1$	无法收敛
$n^{1/3}$	$2$	$\Theta(\log_3\lg n)$
$n/\lg n$	$2$	$\omega(lglgn),o(lgn)$

$f(n)=\sqrt n$ 。 $KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ {{{n^{\frac{1}…$

$f(n)=n/\lg{n}$ ，当 $n$ 足够大， $n / \sqrt{n} < n/\lg{n} < n/2$ 。