Θ记号：
该记号圆圈中是个M。Θ记号渐近地给出一个函数的上界和下界。
对于一个给定的函数g(n)，我们用Θ(g(n))来表示以下函数的集合：
Θ(g(n))={f(n)：存在正常量c1、c2和n0，使得对于所有n⩾n0，有0⩽c1g(n)⩽f(n)⩽c2g(n)}。
即若存在正常量c1和c2，使得对于足够大的n，f(n)能够夹入c1g(n)和c2g(n)之间，则f(n)属于集合Θ(g(n))。对在n0及其右边的所有值，函数f(n)在一个常量因子内等于g(n)，我们称g(n)是f(n)的一个渐近紧确界(asymptotically tight bound)。
Θ(g(n))的定义要求每个成员f(n)属于Θ(g(n))集合均渐近非负，即当n足够大时，f(n)非负，即要求f(n)为渐近正函数。
引进非正式的Θ记号，其效果相当于舍弃了低阶项和忽略了最高阶项的系数。
如：
使用定义证明：
首先要确定正常量c1、c2和n0，使得对于所有n⩾n0，有下式成立：
用n2除上式得：
选择任何常量c1⩽1/14，可以使左边的不等式对任何的n⩾7的值成立。同样的，通过选择任何常量c2⩾1/2，可以使右边的不等式对任何n⩾1都成立。
这样，通过选择c1=1/14，c2=1/2，n0=7，可以证明12n2−3n=Θ(n2)。
O记号：
O记号给出一个函数的渐近上界。
对于给定的函数g(n)，用O(g(n))来表示以下函数的集合：
O(g(n))={f(n)：存在正常量c和n0，使得对所有n⩾n0，有0⩽f(n)⩽cg(n)}。
O记号为函数给出一个在常量因子内的上界，如果存在正常量c和n0，使得在n0及其右边，f(n)的值总小于或等于cg(n)，那么记f(n)=O(g(n))。
Ω记号：
Ω记号给出一个函数的渐近下界。
对于给定的函数g(n)，用Ω(g(n))来表示以下函数的集合：
Ω(g(n))={f(n)：存在正常量c和n0，使得对所有n⩾n0，有0⩽cg(n)⩽f(n)}。
Ω记号为函数给出一个在常量因子内的下界，如果存在正常量c和n0，使得在n0及其右边，f(n)的值总大于或等于cg(n)，那么记f(n)=Ω(g(n))。
定理3.1：
对于任意的两个函数f(n)和g(n)，我们有f(n)=Θ(g(n))，当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。
等式和不等式中的渐近记号：
一般来说，当渐近记号出现在某个公式中，我们将其解释为代表某个我们不关注名称的匿名函数。
如：
公式2n2+3n+1=2n2+Θ(n)指2n2+3n+1=2n2+f(n)，其中f(n)是集合Θ(n)中的某个函数。一个表达式中匿名函数的数目可以理解为等于渐近记号出现的次数。
渐近记号的这种用法有助于略去一个等式中无关紧要的细节。
如：
合并排序的最坏情况运行时间递归式为：
如果仅对T(n) 的渐近行为感兴趣，则没有必要写出所有低阶项，它们都被包含在由Θ(n) 表示的匿名函数中了。
o记号:
我们使用o记号来表示一个非渐近紧确的上界。
形式化地定义o(g(n))为以下集合：o(g(n))={f(n)：对任意正常量c>0，存在常量n0>0，使得对所有n⩾n0，有0⩽f(n)<cg(n)}。
O记号与o记号主要的区别是在f(n)=O(g(n))中，界0⩽f(n)⩽cg(n)对某个常量c>0成立，但在f(n)=o(g(n))中，界0⩽f(n)<cg(n)对所有常量c>0成立。直观上，在o记号中，当n趋于无穷时，函数f(n)相对于g(n)来说变得微不足道了。
ω记号：
我们使用ω记号来表示一个非渐近紧确的下界。
ω记号的定义为：f(n)∈ω(g(n))当且仅当g(n)∈o(f(n))。
形式化定义ω(g(n))为以下集合：ω(g(n))={f(n)：对任意正常量c>0，存在常量n0>0，使得对所有n⩾n0，有0⩽cg(n)<f(n)}。
直观上，当n趋于无穷时，f(n)相对于g(n)来说变得任意大了。
渐近记号的性质：
传递性：
f(n)=Θ(g(n))且g(n)=Θ(h(n)) 蕴涵f(n)=Θ(h(n))
f(n)=O(g(n))且g(n)=O(h(n)) 蕴涵f(n)=O(h(n))
f(n)=Ω(g(n))且g(n)=Ω(h(n)) 蕴涵f(n)=Ω(h(n))
f(n)=o(g(n))且g(n)=o(h(n)) 蕴涵f(n)=o(h(n))
f(n)=ω(g(n))且g(n)=ω(h(n)) 蕴涵f(n)=ω(h(n))
自反性 ：
f(n)=Θ(f(n))
f(n)=O(f(n))
f(n)=Ω(f(n))
对称性：
f(n)=Θ(g(n))当且仅当g(n)=Θ(f(n))
转置对称性：
f(n)=O(g(n))当且仅当g(n)=Ω(f(n))
f(n)=o(g(n))当且仅当g(n)=ω(f(n))
f(n)=O(g(n)类似于a⩽b
f(n)=Ω(g(n)类似于a⩾b
f(n)=Θ(g(n)类似于a=b
f(n)=o(g(n))类似于a<b
f(n)=ω(g(n))类似于a>b
若f(n)=o(g(n))，则称f(n)渐近小于g(n)；若f(n)=ω(g(n))，则称f(n)渐近大于g(n)。
对于任意两个实数a和b，必然存在a<b、a>b、a=ba<b、a>b、a=b三者之一成立，称为实数的三分性；而对于渐近符号，则不存在三分性。
习题：
3.1-1：
设f(n)与g(n)都是渐近非负函数。利用记号的基本定义来证明
题目即要证明存在正常数c1，c2，n0；使对于所有n>=n0,有0 <= c1(f(n)+g(n)) <= max(f(n),g(n))<=c2(f(n)+g(n))
因为f(n)+g(n) <= 2max(f(n),g(n))
所以1/2(f(n)+g(n)) <= max(f(n),g(n))
又因为f(n)和g(n)都均非负，
所以max(f(n),g(n)) <= (f(n)+g(n))
所以1/2(f(n)+g(n)) <= max() <= f(n)+g(n)
所以存在正常数c1=1/2,c2=1, n0=0对所有n>0都有有c1(f(n)+g(n)) <= max(f(n),g(n))<=c2(f(n)+g(n))，得证。
3.1-2：
证明对任意实常数a和b，其中b>0，有
因为n+a <= n+|a|
所以当|a| <= n时,n+a <= 2n
因为n+a >= n-|a|
所以当|a| <= n/2时, n-|a| >= n/2
所以n+a >= n/2
综上可得当n >= 2|a|时,0 < n/2 <= n+a <= 2n
又因为b>0，所以当底数x为正实数时,为单调增函数。故得证。
