矩阵的知识是从行列式而来，矩阵和行列式的区别在于矩阵是一张表，行列式是一个数。

如下，

A是一个矩阵:

$A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \tag{1}$

B是一个行列式：

$B = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| \tag{2}=0$

在这里插入图片描述

向量是一个特殊的矩阵，其行或列数目为1。
矩阵A的一个3*1的列向量 $\vec x$ 为：

$\vec x = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{matrix} \right] \tag{3}$

A的一个1*3的行向量 $\vec y$ 为：

$\vec x = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \right|\tag{4}$

向量范数: 给向量赋予一个正标量值，或者简单理解为向量的模。
$\vec z = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{matrix} \right] \tag{5}$

向量 $\vec z$ 的模记通常记作 $||\vec z||$ (或 $||\vec z||_2$ ) :

$||\vec z||= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{matrix} \right] \tag{5} = \sqrt{1^2+4^2+7^2}$

范数有不同的计算方法，上面介绍的是比较常用的求模方法，向量还有其他范数：

向量的1范数(L1范数): 各元素的绝对值之和:：

$||\vec X||_1=\sum_{i=1}^nX_i$

向量的2范数,各元素平方和再开根号:

$||\vec X||_2=\sqrt{\sum_{i=1}^nX_i^2}$

向量的p范数,各元素绝对值的p次方再开q次方:

$||\vec X||_P =( \sum_{i=1}^n|X_i|^p)^{1/p}$

向量的无穷范数，元素绝对值最大者:
$||\vec X||_\infty = \sum_{i=1}^n\max(|\vec X|_i)$

在这里插入图片描述

矩阵的1-范数：

矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的. (列和最大）

矩阵的2-范数(谱模):

二范数指矩阵A的2范数，就是A的转置共轭矩阵与矩阵A的积的最大特征根的平方根值，是指空间上两个向量矩阵的直线距离。类似于求棋盘上两点间的直线距离。

矩阵的无穷范数（行模）

矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的M,(行和最大）

参考文章

统计机器学习-2-矩阵范数与导数