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JAVA算法：走方格的最小代价（走方格问题变形）
给定一个矩阵（二维数组）和一个位置（m，n）。要求编写一个算法，返回从（0，0）到（m，n）的最小成本路径的成本。矩阵的每个单元格表示遍历该单元格的成本。到达路径的总成本（m，n）是该路径上所有成本（包括源和目标）的总和。在矩阵中移动时，只能从给定单元格向下、向右和斜向下方向（三个方向）遍历单元格，即从给定单元格（i，j）遍历单元格（i+1，j）、（i，j+1）和（i+1，j+1）。您可以假设所有成本都是正整数。
例如，在下图中，到（2，2）的最小成本路径是什么？
1 |
2 |
3 |
4 |
8 |
2 |
1 |
5 |
3 |
可以按照这个方法在矩阵中移动：从 (0, 0) –> (0, 1) –> (1, 2) –> (2, 2)。 最小成本路径成本值为： 8 (1 + 2 + 2 + 3).
最优子结构
到达（m，n）的路径必须通过三个单元之一：（m-1，n-1）或（m-1，n）或（m，n-1）。因此，最小到达成本（m，n）可以写为“3个单元的最小值加上成本[m][n]”。
最小成本（m，n）=min（最小成本（m-1，n-1），最小成本（m-1，n），最小成本（m，n-1））+成本[m][n]
重叠的子问题
下面是MCP（最小成本路径）问题的简单递归实现。实现只遵循上面提到的递归结构。
package com.bean.algorithm.basic;
public class MinCostPathInMatrix {
/*
* A Naive recursive implementation of MCP(Minimum Cost Path) problem
* A utility function that returns minimum of 3 integers
*/
static int min(int x, int y, int z) {
if (x < y)
return (x < z) ? x : z;
else
return (y < z) ? y : z;
}
/*
* Returns cost of minimum cost path from (0,0) to (m, n) in mat[R][C]
*/
static int minCost(int cost[][], int m, int n) {
if (n < 0 || m < 0)
return Integer.MAX_VALUE;
else if (m == 0 && n == 0)
return cost[m][n];
else
return cost[m][n] + min(minCost(cost, m - 1, n - 1), minCost(cost, m - 1, n), minCost(cost, m, n - 1));
}
// Driver code
public static void main(String args[]) {
int cost[][] = {
{ 1, 2, 3 },
{ 4, 8, 2 },
{ 1, 5, 3 }
};
System.out.print(minCost(cost, 2, 2));
}
}
运行结果：
8
应该注意，上面的函数一次又一次地计算相同的子问题。参见下面的递归树，有许多节点不止一次出现。这种幼稚的递归解决方案的时间复杂度是指数级的，速度非常慢。
算法设计（动态规划）
package com.bean.algorithm.basic;
public class MinCostPathInMatrix2 {
/*
* Java program for Dynamic Programming implementation of Min Cost Path problem
* A utility function that returns minimum of 3 integers
*/
private static int min(int x, int y, int z) {
if (x < y)
return (x < z) ? x : z;
else
return (y < z) ? y : z;
}
private static int minCost(int cost[][], int m, int n) {
int i, j;
int tc[][] = new int[m + 1][n + 1];
tc[0][0] = cost[0][0];
/* Initialize first column of total cost(tc) array */
for (i = 1; i <= m; i++)
tc[i][0] = tc[i - 1][0] + cost[i][0];
/* Initialize first row of tc array */
for (j = 1; j <= n; j++)
tc[0][j] = tc[0][j - 1] + cost[0][j];
/* Construct rest of the tc array */
for (i = 1; i <= m; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
tc[i][j] = min(tc[i - 1][j - 1], tc[i - 1][j], tc[i][j - 1]) + cost[i][j];
return tc[m][n];
}
/* Driver program to test above functions */
public static void main(String args[]) {
int cost[][] = {
{ 1, 2, 3 },
{ 4, 8, 2 },
{ 1, 5, 3 }
};
System.out.println(minCost(cost, 2, 2));
}
}
运行结果：
8