题目
有一个m*n的网格，一个机器人只能走格点且只能向右或向下走，要从左上角走到右下角。
请设计一个算法，计算机器人有多少种走法。
给定两个正整数int m,int n，请返回机器人的走法数目。保证x＋y小于等于15。
思路
其实一开始拿到这种题还是很懵的，感觉无从下手。可能因为经验不足吧。
个人认为拿到这种题就应该要参数带入，先把规律找出来，从小见大。
（绘画水平有限，就不献丑了，有兴趣的自己拿个小本本画吧）
假设：
| 行（m）,列（n） | 走法 |
|---|---|
| 1行1列，也就是只有一个格 | 1种 |
| 1行2列（其实就算是n列也是一种） | 1种 |
| 2行1列（n行也是一种） | 1种 |
| 2行2列 | 2种 |
| 3行2列 | 3种 |
| 2行3列 | 3种 |
| 3行3列 | 不太容易看出来，但是还是可以知道是6种 |
| . | |
| . |
规律已经浮出水面了，接下来就靠想象力了。
当我们面临 3 * 3 的时候，我们准备跨出人生中的第一步，我们是向右走呢，还是向下走呢？
但是我们会发现，无论这第一步是往下还是往右都会造成2行3列或者3行2列的结果，那么在这种局面之下，参考上表得知我们会有3种不同的结果。
那 3 * 3怎么也得至少有3+x种精彩人生吧。
继续走下去，我们会面临（2、2）—（2、1）—（1、2）—（1、1）等局面。但是我们的人生我们自己主宰啊，掏出我们的小表格，其实3 * 3就是3+2+1种走法。
虽然这规律有点不讲道理（数学不就是不讲道理的吗），但是这就是规律。
得出递归（DP）公式：f(m,n) = f((m -1), n) + f(m, (n -1))
数学：理解不了就背下来。
玩笑归玩笑，去画图吧，你将会获得数学的宽恕。
其实这是一个很有趣的规律，我们知道n行1列和1行n列其实都是只有一种走法。
那么把这些放到图里，就非常有意思了。
从图中可以发现：到达一个目的地的走法=到达自身左边的走法+上边的走法。
这或许可以给我们一些启发。
假设我们用二维数组来代替表示地图，当我要求 3 * 3 的走法数的时候，就可以直接返回 matrix[ 2 ] [ 2 ]的值就是所求。当然为了方便，数组下标可以设为1开始。
接下来上代码，好好理解，理解不了就背下来，以后竞赛或者面试遇到这种题型直接干掉。
代码实现
public class Demo13 {
public static void main(String[] args) {
int m = 3;
int n = 3;
long time = System.currentTimeMillis();
System.out.println(getResult(m, n));
System.out.println( "迭代：" + (System.currentTimeMillis() - time) + "ms");
time = System.currentTimeMillis();
System.out.println(getResultDP(m, n));
System.out.println("DP：" + (System.currentTimeMillis() - time) + "ms");
}
// 递归求解
public static int getResultDP(int m, int n) {
// 出口
if (m == 1 || n == 1) {
return 1;
}
// 直接上递推公式
return getResultDP(m-1, n) + getResultDP(m, n-1);
}
// 迭代求解
public static int getResult(int m, int n) {
// 声明二维数组，为了方便理解，下标从1开始，所以大小 + 1；
int[][] matrix = new int[m+1][n+1];
// 把第一行全部为1（只有一行情况下，无论多少列都是只有一种走法）
for (int i = 1; i <= m; i++) {
matrix[i][1] = 1;
}
// 第一列全部为1，原理同上
for (int i = 1; i <= n; i++) {
matrix[1][i] = 1;
}
// 构建地图
for (int i=2; i<=m; i++) {
for (int j=2; j<=n; j++) {
// 目标点的值 = 同一行前一列的值 + 上一行同一列的值
matrix[i][j] = matrix[i][j-1] + matrix[i-1][j];
}
}
return matrix[m][n]; // 返回最右下角的值
}
}
运行结果
当数据量加大，设为 15 * 15的规模时的运行结果
可以看出递归和迭代的效率在本题中其实还是有很大的差距的，虽然DP的代码十分简洁，但在效率相差这么多的情况下，还是希望尽量选择迭代的方式求解。
最后
动手去画图，动手去理解，既然都已经看到最后了，说明你还是想学习这个套路或者思想的，别错过了。花个30分钟，就可以吃透了。
编程是手上功夫，别做一个走马观花的人---送给我自己
