计算系数[NOIP2011]\[CH3601]

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题面描述

传送门

思路

根据组合计数中的二项式定理,有 $\large(ax+by)^k=\sum_{i=0}^kC_k^ia^ib^{k-i}x^iy^{k-i}$

则 $x^ny^m$的系数应为 $C^n_ka^nb^m$，因为 $\large\ C_k^n=\frac{k!}{n!(k-n)!}$，我们可以先求出 $k!$, $n!(k-n)!$，因为这里的模数是质数 $10007$，

所以我们并不用 $\operatorname{exgcd}$求逆元，而是直接快速幂求出 $(n!(k-n)!)^{10005}\operatorname{mod }10007$，即 $n!(k-n)!$的乘法逆元(由费马小定理可以得知)。

剩余的 $a^nb^m$，快速幂即可。

AC code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=10007;
const int N=1e4+10;
ll c[N];int tot;
inline ll pow_mod(ll a,ll b)
{
	ll ans=1;a%=mod;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		b>>=1;a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}
inline ll get(ll n)
{
	if(tot>=n)return c[n];
	while(tot<=n)
	{
		++tot;
		c[tot]=c[tot-1]*tot%mod;
	}
	return c[n];
}
int main()
{
	ll a,b,k,n,m;scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&k,&n,&m);
	tot=0;c[0]=1;
	ll x=get(k),y=get(n)*get(m);//y=get(n)+get(k-n);
	y=pow_mod(y,mod-2);
	ll s=x*y%mod;
	x=pow_mod(a,n),y=pow_mod(b,m);
	s=s*x*y%mod;
	printf("%lld\n",s);
	return 0;
}