[D21] 计算系数 factor NOIP2011

【问题描述】

给定一个多项式 k (ax + by) ，请求出多项式展开后 n m x y 项的系数。

【输入】

输入文件名为 factor.in。
共一行，包含 5 个整数，分别为 a，b，k，n，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

【输出】

输出文件名为 factor.out。
输出共 1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对 10007 取模后的结果。

【输入输出样例】

factor.in	factor.out
1 1 3 1 2	3

【数据范围】

对于 30%的数据，有 0≤k≤10；
对于 50%的数据，有 a = 1，b = 1；
对于 100%的数据，有 0≤k≤1,000，0≤n, m≤k，且 n + m = k，0≤a，b≤1,000,000。
—————————————————分割の线——————————————————

【分析】

就是一个多项式展开，可以用杨辉三角或者二项式定义做，但是身为蒟蒻都不会。

于是乎就萌生了一种神奇的算法（貌似和二项式的结论是一致的），证明如下;

多项式可以看成是(ax)^n·(by)^m，

于是我们可以看成是从k个(ax+by)中选出n个ax和m个by相乘，

这时主要求出相乘的总个数，再乘上a^n·b^y，即为多项式的系数

从排列组合的角度出发相当于从k个数中选取n个数的所有的可能数。

用公式表达为：
套个for循环,如下：

    int ans=1;
    for(int i=k-n;i<=k;i++)
        ans*=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans/=i;

然而会溢出，如果改成下方形式又会直接错误(都不知道自己除mod10007以后的数了)

    int ans=l;
    for(int i=k-n;i<=k;i++)
        ans=(ans*i)%10007;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans/=i;

这时我们可以先将一连串分解质因数，再在枚举乘数时进行约分。
代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1010;
long long a,b,k,n,m,s;
//s->为系数 
long long p[maxn],flag[maxn],fa[maxn],cnt=0;
//p->素数,fa->最小质因数(指向地址),num->剩余质因数数量
long long num[maxn],ans=1;
void prepare()
{
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    memset(fa,0,sizeof(fa));
    for(int i=2;i<=1000;i++)
    {
        if(!flag[i])
        {
            p[++cnt]=i;
            fa[i]=cnt;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*p[j]>1000) break;
            flag[i*p[j]]=1;
            fa[i*p[j]]=j;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
    return ;
}
long long calc(long long x)
{//递归约分
    if(x<=1) return 1;
    if(num[fa[x]]>0)
    {
        num[fa[x]]--;
        return calc(x/p[fa[x]]);
    }
    else return p[fa[x]]*calc(x/p[fa[x]]);
}
int main()
{
    freopen("factor.in","r",stdin);
    freopen("factor.out","w",stdout);
    cin>>a>>b>>k>>n>>m;
    a%=10007;
    b%=10007;
    s=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s=(s*a)%10007;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        s=(s*b)%10007;
    n=min(n,m);
    prepare();
    memset(num,0,sizeof(num));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=i;
        while(x>1)
        {
            num[fa[x]]++;
            x/=p[fa[x]];
        }
    }
    for(int i=k-n+1;i<=k;i++)
    {
        ans=(ans*calc(i))%10007;
    }
    ans=(ans*s)%10007;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}