【NOIP 2011 提高组】计算系数

【题目】

传送门

题目描述：

给定一个多项式 $(ax + by)^k$，请求出多项式展开后 $x^ny^m$ 项的系数。

输入格式：

共一行，包含 $5$ 个整数，分别为 $a$， $b$， $k$， $n$， $m$，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出共 $1$ 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对 $10007$ 取模后的结果。

样例数据：

输入
1 1 3 1 2

输出
3

备注：

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，有 $0≤k≤10$；
对于 $50\%$ 的数据，有 $a=1,b=1$；
对于 $100\%$ 的数据，有 $0≤k≤1,000$， $0≤n,m≤k$，且 $n+m=k$， $0≤a,b≤1,000,000$。

【分析】

根据二项式定理可知 $(ax+by)^k=\sum_{i=0}^kC_{k}^i(ax)^i(by)^{k-i}=\sum_{i=0}^k(C_{k}^ia^ib^{k-i})x^iy^{k-i}$

那么显然， $x^ny^m$ 项的系数为 $C_{k}^na^nb^m$。

所以只需处理出组合数就可以了。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define p 10007
using namespace std;
int Power(int a,int b)
{
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)if(b&1)ans=1ll*ans*a%p;
	return ans;
}
int fac(int x)
{
	int i,ans=1;
	for(i=2;i<=x;++i)ans=ans*i%p;
	return ans;
}
int inv(int x)
{
	return Power(fac(x),p-2);
}
int main()
{
	int a,b,k,n,m;
	scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
	printf("%d\n",fac(k)*inv(n)%p*inv(k-n)%p*Power(a,n)%p*Power(b,m)%p);
	return 0;
}