非常经典的dp问题
- 如何理解 当前子序碰到
a[i]<0
加不加到子序中 - 如果将
a[i]
加入到sum中,sum仍然>0
,那么加入是有意义的,否则没有意义,即是加入a[i] a[i]<0
使得sum减小,但我们已经记录上一个sum作为最大的自序和,并且加入a[i]
后,a[i+1]
更大,成为新的最大子序和。 - 因为求最大子序的和,当 加入到自序和中,是没有任何意义的,说明 ,那么开始记录新的子序和
dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i])
即是 第i步才开始判断i-1步的sum的和是否为<0
,
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int len=nums.size();
if( len == 0) return 0;
vector<int> dp(len);
dp[0]=nums[0];
for(int i=1;i<len;i++) dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
return *max_element(dp.begin(),dp.end());
}
};
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int len=nums.size();
if( len == 0) return 0;
int ans=nums[0],sum=nums[0];
for(int i=1;i<len;i++){
if( sum>0 ) sum+=nums[i];//先判断sum的值是否>0
else sum=nums[i];
if(sum>ans) ans=sum;
}
return ans;
}
};
子段的长度<=
m
加上了长度限制 自区间的和一定想到用前缀和来算
- 用单调队列,维护sum值非递减的队列,存索引,
- 先判断长度,然后更新ans,最后把当前sum[i]在满足性质的条件下入队
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=300005;
long long sum[maxn];
int q[maxn];
int main() {
freopen("a.txt","r",stdin);
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++) {
int t;
scanf("%d",&t);
sum[i] += sum[i-1] + t ;
}
long long ans = 0;
int l=1,r=1;//队列区间从1开始
q[1]=0; //队列最开始的sum和最小的为0,维护单调递增的性质,存sum的下标
for (int i=1;i<=n;i++) {
while ( l<=r && q[l] < i-m ) l++;
ans = max( ans,sum[i] - sum[q[l]] );//q[l]是满足长度时,sum最小的值
//将sum[i]加入到队列中
while ( l<=r && sum[i] <= sum[q[r]] ) r--;
q[++r] = i;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
子段的长度不小L
- 长度最小为L,那么不难想到 ,在sum数组中固定i,则要使得子序列和最大,从[0,i-L]中找出sum最小的,则ans最大
- 公式:
- 用一个
min_val
变量记录min{sum[j]} (0<=j<=i-L)
double ans = 1e-10;
double min_val = 1e10;
for (int i = L; i <= n; i++) {
min_val = min( min_val , sum[i-L] );//j=i-L
ans = max( ans,sum[i]-min_val );
}