【动态规划基础】求最大连续子序列和——最大子段和

最大子段和

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 $n$。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示序列的第 $i$ 个数字 $a_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例

样例输入

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

样例输出

4

提示

样例 1 解释

选取 $[3,5]$ 子段 { 3 , − 1 , 2 } \{3, -1, 2\} { 3,−1,2}，其和为 $4$。

数据规模与约定

• 对于 $40\%$ 的数据，保证 $n\le 2\times 10^3$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 2\times 10^5$，$-10^4\le a_i\le 10^4$。

基本方法

当解决最大连续子序列和问题时，可以使用两种基本方法：暴力法和动态规划法。

纯暴力

暴力法是最直观的解决方法，它通过遍历所有可能的子序列，并计算它们的和，最后返回最大的和。具体步骤如下：
初始化一个变量$maxx$为负无穷大，用于记录最大和。
使用两个嵌套循环遍历所有可能的子序列起点和终点。
在内层循环中，计算当前子序列的和，并将其与$maxx$进行比较，更新$maxx$。
最后返回$maxx$作为结果。
例如，对于序列$[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]$，暴力法将遍历所有可能的子序列，计算它们的和，并返回最大的和，即$6$，对应子序列$[4,-1,2,1]$。

暴力法的时间复杂度为$O(n^2)$，其中$n$是序列的长度。

动态规划法

动态规划法是一种更高效的解决方法，它通过利用子问题的最优解来构建整个问题的最优解。具体步骤如下：
初始化两个变量$maxx$和$ll$，分别用于记录全局最大和和当前子序列的和。
遍历整个序列，对于每个元素，将其与$ll$相加，如果结果大于当前元素本身，则更新$ll$为相加结果；否则，将$ll$更新为当前元素。
在每次更新$ll$时，将其与$maxx$进行比较，如果$ll$大于$maxx$，则更新$maxx$为$ll$。
最后返回$maxx$作为结果。
例如，对于序列$[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]$，动态规划法将遍历整个序列，计算当前子序列的和，并更新$maxx$和$ll$。最终，返回$maxx$的值为$6$，对应子序列$[4,-1,2,1]$。

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动态规划法的时间复杂度为$O(n)$，其中$n$是序列的长度。

总结： 暴力法是一种简单直观的解决方法，但在处理大规模序列时效率较低。动态规划法通过利用子问题的最优解，将问题分解为更小的子问题，从而提高了效率。在实际应用中，动态规划法是解决最大连续子序列和问题的常用方法。

A C 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a,ll,maxx;
int main() {
    
    
	cin >>n >>a;
	ll=a; maxx=a;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
    
    
		cin >>a;
		if (ll+a<0)
			ll=0;
		else
		{
    
    
			ll+=a;
			maxx=max(maxx,ll);
		}
	}
	cout <<maxx;
	return 0;
}