jzoj3170-[GDOI2013模拟4]挑选玩具【容斥,状态压缩,分治】

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正题

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题目大意

有 $n$个箱子放了若干个玩具，要求选择一些箱子使得 $m$种玩具都有，求方案总数。

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解题思路

设 $f_S$表示选择只有在集合为 $S$的方案数。
然后答案考虑容斥，那么答案就是 $\sum_S (2^{(f_{(\sim S)})}-1)*(-1)^{|S|}$
我们将集合的表示状压起来。
现在考虑如何快速求 $f$数组，首先 $f_S=c_S$( $c_S$表示集合是 $S$的箱子个数)。
然后分治，每次分治时 $r$肯定是若干个 $1$
比如当 $l=0,r=11111$时左边边都是 $0XXXX$而右边是 $1XXXX$。也就是右边是左边第一位变成一。那么对于每个区间就有

$f_i=\sum_mf_{i-m+l-1}(i> m)$

时间复杂度 $O(2^m\ log\ 2^m)$

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$code$

#include<cstdio>
using namespace std;
const int M=(1<<20)+10,XJQ=1e9+7;
int n,m,f[M],w[M],p[M],ans,v[M],MS;
void apart(int l,int r)
{
	if(l==r){
		f[l]=v[l];
		return; 
	} 
	int m=(l+r)>>1;
	apart(l,m);apart(m+1,r);
	for(int i=l;i<=m;i++)
	  f[i+m-l+1]+=f[i];
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int z=0,k;
		scanf("%d",&k);
		while(k--){
			int x;scanf("%d",&x);
			z|=(1<<x-1);
		}
		v[z]++;
	}
	MS=1<<m;
	for(int i=0;i<MS;i++)
	  w[i]=w[i>>1]^(i&1);
	p[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  p[i]=(p[i-1]<<1)%XJQ;
	apart(0,MS-1);
	for(int i=0;i<MS;i++)
	  (ans+=((w[i]?-1:1)*(p[f[MS-i-1]]-1)))%=XJQ;
	printf("%d",(ans+XJQ)%XJQ);
}