jzoj3169-[GDOI2013模拟4]生产汽车【斜率优化dp,单调队列,二分】

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正题

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题目大意

有 $n$个人 $m$辆车。
人有 $t_i$，车有 $f_j$。第i个人修第j俩车时间是 $t_i*f_j$。
一辆车要每个人都修一遍，且一个人修好后要求下一个人没有工作。对于每辆车找一个修理开始时间要求总修理时间最小(得按顺序修)。

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解题思路

定义 $t_i=\sum_{i=1}^mt_i$
设 $g_i$表示第 $i$辆车开始的时间，然后答案就是 $g_m+f_n*s_i$
且有 $g_i=g_{i-1}+\max\{t_k*f_{i-1}-t_{k-1}*f_i\}$
时间复杂度 $O(nm)$
愉快 $TLE$，我们考虑斜率优化
对于决策 $j,k$，且 $k$比 $j$优
那有 $t_k*f_{i-1}-t_{k-1}*f_i>t_j*f_{i-1}-t_{j-1}*f_i$
$\Rightarrow (t_k-t_j)*f_{i-1}>(t_{k-1}-t_{j-1})*f_i$
$\Rightarrow \frac{t_k-t_j}{t_{k-1}-t_{j-1}}>\frac{f_i}{f_{i-1}}$

然后我们发现 $\frac{f_i}{f_{i-1}}$并不是单调递增的，但是 $\frac{t_k-t_j}{t_{k-1}-t_{j-1}}$肯定越大越优，所以我们可以按照 $\frac{t_k-t_j}{t_{k-1}-t_{j-1}}$维护一个单调递增的单调队列，然后就可以对于每个 $\frac{f_i}{f_{i-1}}$在单调队列上二分。
时间复杂度 $O(m\log n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=110000; 
ll n,m,t[N],f[N],q[N],g[N],tail;
double tan_(ll x,ll y)
{return (t[x]-t[y])/(double)(t[x-1]-t[y-1]);}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	  scanf("%lld",&t[i]),t[i]+=t[i-1];
	for(ll i=1;i<=m;i++)
	  scanf("%lld",&f[i]);
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		while(tail>1&&tan_(i,q[tail])>tan_(q[tail],q[tail-1])) 
		  tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	for(ll i=2;i<=m;i++){
		ll l=0,r=tail;
		double k=(double)f[i]/(double)f[i-1];
		while(l<r){
			ll mid=(l+r)/2;
			if(tan_(q[mid+1],q[mid])>k) l=mid+1;
			else r=mid;
		}
		g[i]=g[i-1]+t[q[l]]*f[i-1]-t[q[l]-1]*f[i];
	}
	printf("%lld",g[m]+t[n]*f[m]);
}