[jzoj]4769. 【GDOI2017模拟9.9】graph（带权并查集+分治）

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Problem

• 对于一个图， 如果它的点集能被分成两个部分， 使得在原图中每一部分之间的点没有任何边相连，则该图被称为二分图。

• 现在给定一个无向图，每次增加一条边，或者删除一条边。要求您每次判断它是不是二分图。

Data constraint

• $n,m\le 3*10^5$.

Solution

• 补充一下题解的分治做法。实际上与线段树做法是一致的。

• 我们把题目的给定加边删边转化成一条边存在的时间，例如一条边是第 $i$时刻加， $j$时刻减，它存在的时间就是 $[i,j-1]$.

• 之后，我们分治时间。

• 设当前处理到的时间区间为 $[L,R]$，则所有覆盖 $[L,R]$的边都会对当前时间区间有影响。我们把这些边用并查集处理一下。因为原图要求是二分图，实际上就是判断有没有奇环。而判奇环可以直接用带权并查集去做。具体的说，我们对并查集的每条儿子到父亲的边带上权。 $1$代表儿子与父亲是不同颜色的， $0$则代表相同。每次连接两个并查集的时候，可以通过简单的操作实现连边。

• 总之，用带权并查集处理后可以很轻松的判断是否有奇环。

• 之后我们把那些并不完全覆盖 $[L,R]$的边继续往下分治，就像线段树一样。那么显然只会分 $Log$次，而每次我们都会在并查集里加边，时间复杂度也是一个 $Log$的，所以总的时间复杂度就是两个 $Log$的。

• 注意并查集要用按秩合并。路径压缩因为会改变树的形态，对我们每次清除标记有影响。因为是在每次往左往右递归完之后，才把对当前区间影响的那些记录给消除掉，所以这个可以随便维护个数组或vector之类的。每次递归往下带的时候可以直接套一个vector，常数很大，实际上可以更快。