#组合，容斥#JZOJ 3332 棋盘游戏

比赛

题目

有一个N*M的棋盘，初始每个格子都是白色的。
行或列操作是指选定某一行或列，将这行或列所有格子的颜色取反（黑白互换）。
进行R次行操作C次列操作（可能对某行或者某列操作了多次），最后棋盘上有S个黑色格子。
问有多少种不同的操作方案。两种操作方案不同，当且仅当对某行或者某列操作次数不同（也就是说与操作的顺序无关）。求方案数$\mod 10^9+7$。

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分析

细节太多，要慢慢讲。
首先要知道条件，设有X行，Y列有效取反，那么$S=XN+YM-2XY$才会成立。
所以其实可以只枚举$X$，就可以求出$Y=\frac{S-XN}{M-2X}$。
首先对于特殊情况分母为0时，对原式化简得$S=XN$
$\therefore S=M*N/2(\because M-2X=0\therefore X*2=M)$
所以当分母为0且$S=M*N/2且X*2=M$时Y=0
否则当$\frac{S-XN}{M-2X}=\lfloor \frac{S-XN}{M-2X} \rfloor$时就可以计算出Y
且$Y\geq0,C-Y\geq0,C-Y \mod 2=0$,那怎么算呢。
$ans+=C(n,x)*C(m,y)*C((r-x)/2+n-1,n-1)*C((c-y)/2+m-1,m-1)$
前面好理解，n行选择x行的组合方案*m行选择y行的组合方案，后面是处理重复的取反，为
$(r-x)/2次，(c-y)/2次$无效取反，可以用隔板法，把无效取反放入隔板有多少种方案，给无效取反加上n-1(m-1)是为了留出空间。

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代码

#include <cstdio>
#define mod 1000000007
#define bll long long
using namespace std;
bll n,m,r,c,f[150001],ans,s;
bll ksm(bll x,bll y){//快速幂
    bll ans=1;
    while (y){
        if (y&1) ans=(ans*x)%mod;
        x=(x*x)%mod; y>>=1;
    }
    return ans;
}
bll C(bll n,bll m){
    bll a=f[n],b=1ll*f[m]*f[n-m]%mod;
    return a*ksm(b,mod-2)%mod;//乘法逆元
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&r,&c,&s); f[0]=f[1]=1ll;
    for (int i=1;i<=150000;i++) f[i]=f[i-1]*i%mod;//求阶乘
    for (int x=r%2;x<=r;x+=2){
        if ((x<<1)==n){//分母为0
            if (s<<1==n*m&&c%2==0) ans=(ans+(C(n,x)*C(m,0)%mod*C(((r-x)>>1)+n-1,n-1)*C((c>>1)+m-1,m-1)%mod)%mod)%mod;//如分析所示
        }
        else if ((s-x*m)%(n-(x<<1))==0){
            long long y=(s-x*m)/(n-(x<<1));//求出y
            if(y<0||c-y<0||(c-y)&1) continue;//不满足条件
            ans=(ans+(C(n,x)*C(m,y)%mod*C(((r-x)>>1)+n-1,n-1)%mod*C(((c-y)>>1)+m-1,m-1)%mod)%mod)%mod;//计算答案
        }
    }
    return !printf("%lld",ans);
}