数学题集

背景：

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理论上持续更。

T1

$que:$

对于一个圆，现在有 $n$个点，两两连边（保证不会多线交一个点），求分成的区域块的数目。

$sol:$

视频链接：https://www.bilibili.com/video/av19849697

欧拉定理：在任何一个规则球面地图上，用 $R$记区域个数， $V$记顶点个数， $E$记边界个数，则 $R+V-E=2$。
——摘自《百度百科》

不过，这个公式只适用于边不相交的图，因此，不能够直接套用该公式。
考虑顶点的个数。原来有 $n$个点，然后两条边（四个点）会产生一个交点，因此 $V=n+C_{n}^{4}$。
考虑边的个数。一共有 $C_{n}^{2}$条线段交于 $C_{n}^{4}$个点，所以有 $C_{n}^{2}+2C_{n}^{4}$段，即这么多边。因为你还用 $n$个点将圆分开，因此再加上 $n$即可。综上， $E=C_{n}^{2}+2C_{n}^{4}+n$
带入公式 $R+V-E=2$，得到：
$R+(n+C_{n}^{4})-(C_{n}^{2}+2C_{n}^{4}+n)=2$

$R=C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+2$

因为我们只关心圆内的区域数，因此答案减去圆的补集（大小 $1$个）。
因此最后的答案为：
$R=C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+1$