数学题【1】

题目描述

求\(A^B\)的所有约数之和\(mod\mbox{ 9901 } (1≤A,B≤5*10^7)\)

• 输入

2 3

• 输出

15

题解

（1）  整数的唯一分解定理：

      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。
     \(A=(p1^{k1})*(p2^{k2})*(p3^{k3})*....*(pn^{kn})\)其中\(pi\)均为素数

（2）   约数和公式：

      对于已经分解的整数\(A=(p1^{k1})*(p2^{k2})*(p3^{k3})*....*(pn^{kn})\)

      有A的所有因子之和为

\[ S = (1+p1+p1^2+...p1^{k1}) * (1+p2+p2^2+….p2^{k2}) * .... *\] \[(1+pn+pn^2+pn^3+...pn^{kn})\]
（3）   费马小定理求逆元：
      \[a^{-1} \equiv a^{P-2} \mbox{ ( mod P ) }\]
（4）   求等比数列：
      \[(1+p1+p1^2+...p1^{B*k1})=\frac{p1^{B*k1+1}-1}{p1-1}\]
      特别的，若 \(p1-1\) 是9901的倍数有 \(p1 \equiv 1 \mbox{ ( mod P ) }\)
      所以有，\[(1+p1+p1^2+...p1^{B*k1})\equiv B*k1+1\mbox{ ( mod P ) }\]

code

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define re register int
#define int long long
using namespace std;
inline void read(int &x){
    x=0;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar());
    for(; isdigit(ch);ch=getchar())
          x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
}
const int N=300,P=9901;
int p[N],c[N],a,b,ans=1,t,inv[100000];
inline void get(){
    inv[1]=1;
    for(re i=2;i<100000;++i)
        inv[i]=((P-P/i)*inv[P%i])%P;
}
inline int ksm(int x,int y){
    int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%P) 
        if(y&1) (res*=x)%=P;
    return res%P;
}
signed main(){
    get();
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
        t=0,ans=1;
        for(re i=2;i*i<=a;++i)
            if(a%i==0) {
                p[++t]=i,c[t]=0;
                while(a%i==0) 
                    a/=i,++c[t];
            }
        if(a>1) p[++t]=a,c[t]=1;
        for(re i=1;i<=t;++i){
            if((p[i]-1)%P==0)
                (ans*=(b*c[i]+1)%P)%=P;
                //没有逆元时特判
            else    
                (ans*=((ksm(p[i],c[i]*b+1)-1+P)*ksm(p[i]-1,P-2)%P))%=P;
                //ksm(p[i],c[i]*b+1)-1+P ，记得取模减法后%P+P再%P，
                //调这个用了1h+
        }
        printf("%lld\n",ans%P);
    }return 0;
}