【树直径】CC_MXPATH Maximum Tree Path

【题目】
CC
给定一棵 $n$ 个点带点权和边权的树，求树上所有路径中 $\text{dis}(u,v)\cdot \text{gcd}(u,v)\cdot \min(u,v)$ 的最大值，括号内点对均表示两点间路径。
$n\leq 10^5$ ，边权 $\leq 10^5$ ，点权 $\leq 10^4$ ， $100$ 组数据。

【解题思路】
没有什么好的想法，写个暴力。

对于所有可能的 $\text{gcd}$ 来说，每条边最多在其中约数个数个中出现，那么总的出现次数（松的）上界就是 $O(n^{\frac 4 3})$ 了。

枚举这个 $\text{gcd}$ ，然后从大到小将每条可行的边加入图中，那么当前加入的边一定是 $\min$ 。再维护一下连通块的直径就可以直接算了。

虽然算的结果对于当前不一定是正确的，但我们最终一定能得到最优的值。

$\text{lca}$ 写 $O(1)$ 的，那么一个十分松的上界大概就是 $O(n^{\frac 4 3})$ 了（因为点权是 $10^4$ 的不到 $n$ 级别，不过我预处理是根号的），但它常数比较大，而且我写得比较懒，还有 $100$ 组数据。。。所以随便了。

~~其实我写完是很懵的，怎么写着写着就过了？？？我都开始打对拍了？？？~~

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e5+10,M=1e4+10;

namespace IO
{
	int read()
	{
		int ret=0;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)) c=getchar();
		while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
		return ret;
	}
	void write(int x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10^48);}
	void writeln(int x){write(x);putchar('\n');}
}
using namespace IO;

namespace Tree
{
	int tot,ind;
	int f[N],fc[25],Log[N<<1];
	int head[N],fa[N],pos[N],dfn[N<<1],st[19][N<<1];
	ll dis[N]; 
	struct edge{int u,v,w;edge(int _u=0,int _v=0,int _w=0):u(_u),v(_v),w(_w){}}E[N];
	struct Tway{int v,w,nex;}e[N<<1];
	struct data{int x,y;data(int _x=0,int _y=0):x(_x),y(_y){}}d[N];
	void add(int u,int v,int w)
	{
		e[++tot]=(Tway){v,w,head[u]};head[u]=tot;
		e[++tot]=(Tway){u,w,head[v]};head[v]=tot;
	}
	void dfs(int x)
	{
		dfn[++ind]=x;pos[x]=ind;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
		{
			int v=e[i].v;
			if(v==fa[x]) continue;
			fa[v]=x;dis[v]=dis[x]+e[i].w;
			dfs(v);dfn[++ind]=x;
		}
	}
	int cmp(int x,int y){return dis[x]<dis[y]?x:y;}
	void initst()
	{
		for(int i=1;i<=ind;++i) st[0][i]=dfn[i];
		for(int j=1;j<20;++j) for(int i=1;i+fc[j]-1<=ind;++i)
			st[j][i]=cmp(st[j-1][i],st[j-1][i+fc[j-1]]);
	}
	int lca(int x,int y)
	{
		int l=pos[x],r=pos[y];
		if(l>r) swap(l,r);
		int k=Log[r-l+1];
		return cmp(st[k][l],st[k][r-fc[k]+1]);
	}
	ll getdis(int x,int y){return dis[x]+dis[y]-2ll*dis[lca(x,y)];}
	data merge(int a,int b,int c,int d)
	{
		static int tmp[5];
		tmp[0]=a;tmp[1]=b;tmp[2]=c;tmp[3]=d;
		int res1=a,res2=b;ll res=0;
		for(int i=0;i<4;++i) for(int j=i+1;j<4;++j)
		{
			ll t=getdis(tmp[i],tmp[j]);
			if(t>res) res=t,res1=tmp[i],res2=tmp[j];
		}
		return data(res1,res2);
	}
	int findf(int x){return f[x]==x?x:f[x]=findf(f[x]);}
}
using namespace Tree;

namespace DreamLolita
{
	int n,a[N];
	ll ans;
	vector<int>G[N];
	void clear()
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)head[i]=0;
		ans=0;ind=0;tot=1;
	}
	bool cmp(int x,int y){return E[x].w>E[y].w;}
	void solve(int now)
	{
		if(!G[now].size()) return;
		sort(G[now].begin(),G[now].end(),cmp);
		for(auto id:G[now]) 
		{
			int u=E[id].u,v=E[id].v;
			f[u]=u;f[v]=v;d[u]=data(u,u);d[v]=data(v,v);
		}
		for(auto id:G[now])
		{
			int u=E[id].u,v=E[id].v,w=E[id].w;
			u=findf(u),v=findf(v);
			f[u]=v;d[v]=merge(d[v].x,d[v].y,d[u].x,d[u].y);
			ans=max(ans,1ll*getdis(d[v].x,d[v].y)*w*now);
		}
		G[now].clear();
	}
	int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
	void addall(int x,int id)
	{
		for(int i=1;1ll*i*i<=x;++i) if(!(x%i)) 
		{
			G[i].pb(id);
			if(i!=x/i) G[x/i].pb(id);
		}
	}
	void solution()
	{
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
		for(int i=1;i<n;++i) 
		{
			int u=read(),v=read(),w=read();
			add(u,v,w);E[i]=edge(u,v,min(a[u],a[v]));addall(gcd(a[u],a[v]),i);
		}
		dfs(1);initst();
		for(int i=1;i<M;++i) solve(i);
		printf("%lld\n",ans); clear();
	}
	void init()
	{
		fc[0]=1;for(int i=1;i<20;++i)fc[i]=fc[i-1]<<1;
		for(int i=2;i<N*2;++i) Log[i]=Log[i>>1]+1;
	}
}



int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("CC_MXPATH.in","r",stdin);
	freopen("CC_MXPATH.out","w",stdout);
#endif
	DreamLolita::init();
	int T=read();
	while(T--) DreamLolita::solution();
	return 0;
}

【树直径】CC_MXPATH Maximum Tree Path

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