除了基本导数公式，本文介绍的矩阵求导方法不涉及任何公式的套用。
本文以neural network中最常见的一种计算单元为例，详细介绍了BP算法中涉及到的矩阵求导过程。刚接触机器学习时，曾被BP算法中的矩阵求导困扰好久，写下这篇总结，希望能对后来学习的同学有所帮助。文章中的错误，欢迎大家纠正。
（1）分析阶段
下图为neural network中较为常见的一种计算单元，本文以此为例介绍我对矩阵求导或是BP算法的理解。
矩阵维数：
X：N * D
W: D * M
b: M * 1
q: N * M
f: N * M
一般而言：
N表示输入的训练数据数目
D表示一条样本数据展开为行向量后的长度
M表示下一hidden layer的hidden unit数目
由上图：
对于矩阵q:
其中q[i][j]：
简单的分析之后，我们先明确我们的目标，对于BP算法主要是求解f对W和b的偏导数，即求解下面两个表达式：
结合上面两个等式：
即，我们想求出f对W和对b的偏导数，我们只需另外求出下面这个等式即可：
另外，有一个小技巧可以帮助验证最后得到的梯度矩阵形式是否正确，在机器学习中我们求梯度或偏导数主要用于类似如下表达式：
抛开dW前的系数，我们可以发现矩阵dW和W维数必须相同。
2）求解
对于函数f：
数学定义上f在0处不可导，因为ReLu在0点不可导，这里我们人为取f在0点的导数为0，所以：
而：
为方便表示，这里我们引入一个辅助矩阵V：
因而有：
之后回到步骤（1）中最后两个表达式：
对于第一个表达式，即矩阵X的第m列与矩阵V的第n列的乘积，等价于X的转至的第m行与V的第n列的乘积，所以向量化表示为：
即，X的转置与V的卷积：X.T.dot(V)
第二个表达式，即为矩阵V第k列的和，所以向量化表示为：
即，矩阵V按列求和。
综上：
与矩阵W维数相同，均为：D * M
与向量b维数相同，均为：M * 1
（3）小结：
机器学习中的矩阵求导，尤其BP算法中的矩阵求导可以由导数的“链式法则”一步步得到，完全不用刻意去背诵相关的求导公式，这也有助于理解BP算法。另外，理解矩阵X和其梯度矩阵dX具有相同维数很有帮助。
希望本文对你有所帮助。最后附上个人觉得比较好的几个机器学习视频资料：
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不建议入门者一开始就啃理论，个人觉得机器学习对理论的了解是个渐进的过程，通过视频学习把握整体，然后是：理论，应用，理论之间不断深入的过程。
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