使用R语言进行一元回归

使用R语言进行一元回归

我们通过一个例子来介绍通过R语言进行一元回归的方法

例子：为研究某实验过程中，温度x（℃）对产品得率（%）的影响，测得数据如下：

温度x（℃）	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190
得率Y（%）	45	51	54	61	66	70	74	78	85	89

说明：该例子来自盛骤等老师编写的第四版概率论与数理统计书籍

首先，我们把x,Y数值之间的联系先用散点图描绘出来：

p = c(100,110,120,130,140,150,160,170,180,190)
q = c(45,51,54,61,66,70,74,78,85,89)

plot(p,q,type="p",col="blue",xlab="x",ylab="Y")

运行结果：

从上面散点图我们可以看出，x与Y之间的相关性很强，近似一种线性关系。一元回归的目的就是拟合出一条回归直线，使得散点图上的每一点与这条直线的纵向距离最短。通过拟合出的回归直线，可以用于预测。
设：$Y=a+bx+ε，ε~N(0,σ^2)$
对参数a,b进行估计：
其中：

$$b ̂ = \dfrac{\sum_{i=1}^n (x_i-x ̅)(y_i-y ̅)}{\sum_{i=1}^n (x_i-x ̅)^2}$$
$$a ̂ =y ̅-b ̂x ̅$$
$y=a ̂ + b ̂x ̅$ 即为Y关于x的回归方程。
现在，我们使用R语言来求参数a和b
方法一：

p = c(100,110,120,130,140,150,160,170,180,190)
q = c(45,51,54,61,66,70,74,78,85,89)

plot(p,q,type="p",col="blue",xlab="x",ylab="Y")

lxy<-function(x,y){n=length(x);sum(x*y)-sum(x)*sum(y)/n}  #自定义函数
b = lxy(p,q)/lxy(p,p)
a = mean(q)-b*mean(p)
print(b)
print(a)
lines(p,a+b*p)

运行结果：

[1] 0.4830303
[1] -2.739394

函数图像：

即：回归方程为$Y=-2.739394+0.4830303*x$

方法二：（简单，推荐）

p = c(100,110,120,130,140,150,160,170,180,190)
q = c(45,51,54,61,66,70,74,78,85,89)

r=lm(q~1+p)
print(summary(r))

运行结果：

Call:
lm(formula = q ~ 1 + p)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.3758 -0.5591  0.1242  0.7470  1.1152 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.73939    1.54650  -1.771    0.114    
p            0.48303    0.01046  46.169 5.35e-11 ***
---
Signif. codes:  
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.9503 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9963,    Adjusted R-squared:  0.9958 
F-statistic:  2132 on 1 and 8 DF,  p-value: 5.353e-11

R中提供了lm( )函数来进行回归分析，使用summary( )可以得到回归结果的所有参数。其中，p后面的三个星号***表示参数的估计是很显著的。