2019.4.13 提高A组 T1 JZOJ 3169 生产汽车

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$Description$

有 $n$个人和 $m$辆汽车，第 $i$个人可以完成第 $j$辆车的第 $i$项工序，耗时 $T[i]\times F[j]$

现在必须要从前往后造汽车，但是当 $i$完成他的工序时， $i+1(i<n)$这个人必须有空闲去接上他的工序

求最快完成的时间。

数据范围： $n,m\leq 10^5$

---

$Solution$

设 $f[i]$表示第 $i$辆汽车开始生产的时间， $f[1]=0$

$f[i]=f[i-1]+max(F[i-1]\times sum[j]+F[i]\times sum[j-1]) 其中sum[j]=Σt[k] (1<=k<=j)$

表示每个人都必须在它生产完 $i-1$这辆车之后才能继续第 $i$辆，看到这个十字我们考虑斜率优化

对于决策 $j,k$若 $k$优于 $j$，那么有

$F[i-1]\times s[j]+F[i]\times s[j-1]<F[i-1]\times s[k]+F[i]\times s[k-1]$

分配率

$F[i-1]\times(s[j]-s[k])<F[i]\times (s[j-1]-s[k-1])$

等式的性质

$\frac{F[i-1]}{F[i]}<\frac{s[j-1]-s[k-1]}{s[j]-s[k]}$

但是 $\frac{F[i-1]}{F[i]}$不具有单调性，所以我们维护一个斜率单调递减的上凸壳，然后在上面二分

$Code$

#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int n,m,q[N],t=0;
long long F[N],s[N],f[N];
inline long long read()
{
    char c;int f=0,d=1;
    while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    return d*f;
}
inline double slp(int i,int j)
{ 
	return (s[i]-s[j])/(double)(s[i-1]-s[j-1]);//斜率
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+read();
	for(int i=1;i<=m;++i) F[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(;t>1&&slp(i,q[t])>slp(q[t],q[t-1]);--t);//维护一个斜率单调递减的上凸壳
		q[++t]=i;//放入队尾
	}
	f[1]=0;
	for(int i=2,l,r,mid;i<=m;++i)
	{
		l=0; r=t; 
		for(double k=F[i]/(double)F[i-1];l<r;)//二分找到最优决策点
		{
			mid=l+r>>1;
			if(slp(q[mid+1],q[mid])>k) l=mid+1; else r=mid;
		}
		f[i]=f[i-1]+s[q[l]]*F[i-1]-s[q[l]-1]*F[i];//利用最优决策算出答案
	}
	printf("%lld\n",1ll*f[m]+s[n]*F[m]);
}