JZOJ7月22日提高组T1 三色树

题目

Description

给出一个N个节点的无根树，每条边有非负边权，每个节点有三种颜色：黑，白，灰。
一个合法的无根树满足：树中不含有黑色结点或者含有至多一个白色节点。
现在希望你通过割掉几条树边，使得形成的若干树合法，并最小化割去树边权值的和。

Input

第一行一个正整数N，表示树的节点个数。
第二行N个整数Ai，表示i号节点的颜色，0 表示黑色，1表示白色，2表示灰色。
接下来N-1行每行三个整数Xi Yi Zi，表示一条连接Xi和Yi权为Zi的边。

Output

输出一个整数表示其最小代价。

Sample Input

5
0 1 1 1 0
1 2 5
1 3 3
5 2 5
2 4 16

Sample Output

10
样例解释：
花费10的代价删去边(1, 2)和边(2, 5)。

Data Constraint

20%的数据满足N≤10。
另外30%的数据满足N≤100,000，且保证树是一条链。
100%的数据满足N≤300,000，0≤Zi≤1,000,000,000，Ai∈{0,1,2}。

题解

题意

$n$个节点，颜色为0\1\2
对于一个合法树，要求没有颜色0或最多一个颜色1
求出满足最大合法森林需要删去边的最小代价

分析

由于每个节点只有三种颜色，状态简单，很容易想到用树形DP来做这道题。

上面这句话是CJZ巨佬所述 （但我这种蒟蒻就想不到树形DP）
设 $f[i][0]$表示以节点 $i$为根的子树中不含黑色节点的最小代价
设 $f[i][1]$表示以节点 $i$为根的子树中不含白色节点的最小代价
设 $f[i][2]$表示以节点 $i$为根的子树中只含一个白色节点的最小代价
先行告知： $son$表示 $i$的儿子, $v$表示 $i$和 $son$连接的那条边的权值， $a[i]$表示节点 $i$的颜色， $inf$正无穷
$f[i][0]$转移：
$f[i][0]=\begin{cases}(a[i]=0)inf\\(a[i]≠0)∑_{son}min\begin{cases}f[son][0]\\v+min\begin{cases}f[son][1]\\f[son][2]\end{cases}\end{cases} \end{cases}$
解释：
当节点 $i$的颜色是黑色时
以节点 $i$为根的子树中不含黑色节点是不存在的
所以 $f[i][0]$设为 $inf$
当节点 $i$的颜色是白色时
对于每个儿子节点
可以全部白色，或者割掉当前节点和儿子节点之间的边，那么儿子节点选什么都无所谓，求个 $min$值就可以了
$f[i][1]$转移（其实跟 $f[i][0]$转移基本一样）
$f[i][1]=\begin{cases}(a[i]=1)inf\\(a[i]≠1)∑_{son}min\begin{cases}f[son][1]\\v+min\begin{cases}f[son][0]\\f[son][2]\end{cases}\end{cases} \end{cases}$
至于解释嘛，对照 $f[i][0]$的自己思考
$f[i][2]$转移
$f[i][2]=\begin{cases}(a[i]=1)∑_{son}min\begin{cases}f[son][1]\\v+min\begin{cases}f[son][0]\\f[son][2]\end{cases}\end{cases}\\(a[i]≠1)f[i][1]-max(min\begin{cases}f[son][1]\\v+min\begin{cases}f[son][0]\\f[son][2]\end{cases}\end{cases}-f[son][2]) \end{cases}$
不要看错
解释：
当当前节点的颜色是白色时
那么它的儿子不能选白色
跟 $f[i][1]$一样
当当前节点不是白色
那么就可以让某个儿子节点的要求放宽一点
求出放宽要求后减少哪些代价
再用没有白色节点的 $f[i][1]$减去最大减少代价
结合代码理解

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