题目
标题：等差素数列
2,3,5,7,11,13,…是素数序列。
类似：7,37,67,97,127,157 这样完全由素数组成的等差数列，叫等差素数数列。
上边的数列公差为30，长度为6。
2004年，格林与华人陶哲轩合作证明了：存在任意长度的素数等差数列。
这是数论领域一项惊人的成果！
有这一理论为基础，请你借助手中的计算机，满怀信心地搜索：
长度为10的等差素数列，其公差最小值是多少？
注意：需要提交的是一个整数，不要填写任何多余的内容和说明文字。
题目分析
首先, 素数 (质数) 都是大于 1 的, 因此 1 不是素数, 这点在题目中也有说明.
本题的解题思路是这样的:
我们首先需要定义一个用于判断一个数是不是素数的函数, 下面这个函数就可以判断一个大于 2 的数是不是一个素数, 如果是素数就返回真:
bool f(int x){
for(int i=2;i<x;i++){
if(x%i==0){
return 0;
}
}
return 1;
}
这里需要注意的是, 如果把上面这个判断素数的函数写成下面这样是不对的, 因为如果一个数能够整除除了自身和 1 之外的其他数则可以断定该数不是素数, 但是如果一个数不能够整除除了自身和 1 之外的其他数中的一个, 是不能判断其是不是素数的, 错误的素数判断程序如下:
bool f(int x){
for(int i=2;i<x;i++){
if(x%!=0){
return 1;
}
}
return 0;
}
之后, 我们需要从素数的起始位置, 也就是数字 2 开始, 从小到大依次判断前 1 个数加 1 是不是素数, 如果不是素数且之前计算出来的数字个数小于 10, 那么第 2 个素数开始进行上面的逐个加 1 的操作, 直到第 99999 个数字 (这个数字不一定是素数, 如果不是素数不参加之前的运算) 为止, 如果不能以 1 为公差找到 10 个数字, 则之后还是从数字 2 开始逐个加 2 并判断是不是素数, 如果不是素数则从第二个素数开始逐个进行加 2 的操作, 直到第 99999 个数字为止, 如果不能以 2 为公差找到 10 个数字, 则之后从数字 2 开始进行加 3 的操作…直到第 99999 个数字为止.
如果计算之后找不到结果可以将上面提到的有关搜索范围适当扩大.
在具体的编程实现上有以下两种.
程序 1:
#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[99999];
bool f(int x){
for(int i=2;i<x;i++){
if(x%i==0){
return 0;
}
}
return 1;
}
int main(){
for(int a=2;a<99999;a++){ //遍历首项
for(int b=1;b<999;b++){ //遍历公差
//使用十层 if 判断寻找符合条件的数值, 能抵达第十层的说明满足条件, 输出之
if(f(a)){
if(f(a+b*1)){
if(f(a+b*2)){
if(f(a+b*3)){
if(f(a+b*4)){
if(f(a+b*5)){
if(f(a+b*6)){
if(f(a+b*7)){
if(f(a+b*8)){
if(f(a+b*9)){
cout<<b<<endl;
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}else{
continue;
}
}
}
return 0;
}
程序 2:
#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
#define MAX 999999
using namespace std;
int a[MAX];
bool f(int x){ //判断一个数字是不是素数的函数
for(int i=2;i<x;i++){
if(x%i==0){
return 0;
//如果能整除, 则表示这是一个非素数, 返回假 (0)
}
}
return 1;
//如果不能整除, 则表示这是一个素数, 返回真 (0)
}
int main(){
//遍历从 2 到 99999 之间的数字, 将其中的素数标记为 1
for(int i=2;i<99999;i++){
if(f(i)){
a[i]=1;
}
}
for(int delta=1;delta<999;delta++){
//遍历从 1 到 999 之间的公差
for(int i=2;i<99999;i++){
//遍历数组 a[i]
int step;
for(step=0;step<10;step++){
//限制只遍历数组 a[i] 中的 10 个数字
//如果第 i+delta*step 个数字不是素数就退出
if(a[i+delta*step]!=1){
break;
}
}
//如果能完整的走完 10 步则表示找到了答案
if(step==10){
cout<<delta<<endl;
return 0;
}
}
}
return 0;
}
本题的正确答案:
210