分步取模原理

很多算法用到了分步取模运算，算法中用到一个结论(a * b + c)%m = (( a % m ) * b + c)%m，但都没有特别清楚地说明为什么可以这么算，只是提到用以下两个公式：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p 　　①

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p　　②

经过探究发现，

设a=k₁m+b₁，b=k₂m+b₂（b1,b2 < m，即a ÷ m = k₁……b_1，a ÷ m = k₂……b₂），则：

根据②式 (a * b) % m = (a % m * b % m) % m = (b_{1 *} b₂) % m

而(b₁ * b) % m = (k₂b₁m + b₁b₂) % m = (b1 * b2) % m

所以 (a * b) % m = (b₁ * b) % m = (a % m * b) % m　　③

那么 (a * b + c) % m = ((a * c) % m + c % m) % m

=( (a % m * b) % m + c % m) % m　　　　(根据③)

=(a % m * b + c) % m　　　　　　　　　  (根据②反向)

于是 (a * b + c) % m = (a % m * b + c) % m得证