取模运算性质

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式：

n = kp + r ；

其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。

对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：，其结果是a+b算术和除以p的余数。

模p减法：，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（12）
快速乘法取模
- 当我们计算a*b%mod的时候，往往较大的数计算a＊b会超出数据的范围，这个时候使用快速乘法方法能解决上述问题．
- 快速乘法的原理是把数分解为多项式相加。举个例子：
  30*14 = 30*(1110)2 = 30*(2^3)1+30(2^2)1+30(2^1)1+30(2^0)*0=240+120+60=420
- 代码如下：
```
typedef long long LL;
LL q_mul(LL a, LL b, LL p){//快速乘法取模
    LL ans = 0;
    while (b){
        if(b&1LL) ans=(ans+a)%p;
        //or ans=(ans+(b%2*a)%p)%p;
        a = (a +a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
```

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快速乘法取模