概率基本概念

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一、基本概念

1.随机事件与概率

• 自然界中各种现象可以区分为两种：确定性现象随机现象
  • 确定性现象:在一定情况下一定会出现的现象
  • 随机现象 :在一定的条件下，可能出现多种结果，而在试
    验之前无法预知其确切的结果，也无法控制

•  概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 
  

2.随机事件及其运算

• (1)随机试验与随机事件

  • 随机试验：具有以下特点的试验（用E表示）

  1. 可以在相同条件下重复进行
  2. 可能出现的结果有多个且试验之前知道所有的概念
  3. 试验结束后出现哪种结果是随机的

  • 通常用字母E表示随机试验(以后简称试验)。

  例如：
  E1 ：抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况
  E2 ：掷一颗骰子，观察出现的点数

• (2)基本事件ω(也称样本点)：
  一次试验可能出现的每一个直接的 结果。也就是随机试验不能够再分解的结果。

  如： E1有两个基本事件：E1 ={出现正面}， E2={出现反面}
  E2有六个基本事件： Ei ={出现 i 点}，i=1,2,3,4,5,6

• (3)样本空间Ω：
  全体基本事件的集合。

  如： E2的样本空间为 Ω={1，2，3，4，5，6}

• (4) 随机事件：
  试验的每一个可能结果。用大写字母A,B,C 等表示
  随机事件也就是样本空间的子集，即若干基本事件组成的集合。

  如：在E2中，“出现偶数点”的事件可表示为A= {2，4，6}

• (5) 事件发生:
  当事件A所包含的基本事件有一个出现，就说事件A发生了，否则就说事件A未发生

• (6) 必然事件:一定发生的事件，也就是样本空间Ω

• (7) 不可能事件:一定不发生的事件，记为Φ

• (8) 事件包含:
  如果事件A发生必然导致事件B发生．则称事件B包含
  事件A，记作 A⊂ B 或 B ⊃ A

• (9) 事件的和:
  事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件称
  为事件A与事件B的和或并，记为A U B 或 A + B

• (10) 事件的积:
  事件A与事件B同时发生，这样的事件称为事件A与事
  件B的积或交，记为A∩B 或 AB

   事件的和与积可以推广到多个事件
  

• (11) 事件的差：
  事件A 发生而事件B不发生，这样的事件称为事件A与事件B的差，记为A-B。

  如A={2,4,6}，B={2,3}，
  则A-B={4,6}。 A-B就是A的基本事件中去掉含在B中的，余下的
  基本事件组成的事件。

• (12)互斥事件：
  若事件A与事件B不能同时发生(即AB=Φ)，则称事件A与事件B为互不相容或互斥。
  若A与B互不相容，则A与B不含有公共的基本事件 .

• (13)对立事件(互逆)：
  若事件A与事件B有且仅有一个发生，且AUB=Ω，A∩B=Φ，
  则称事件A与事件B互为对立事件或互逆事件，
  其中事件B叫做事件A 的逆事件，记作B=^—A，
  事件B叫做事件A的逆事件，记作A=B

二、概率

1.样本空间、事件和概念

• 样本空间 S 是一个集合，它的元素称为基本事件。
• 样本空间的一个子集被称为事件， 根据定义，所有基本事件互斥。
• 概率：
  如果有一种事件到实数的映射 P{}，满足：
  1. 对任何事件 A， P{A}≥0
  2. P{S}=1
  3. 对两个互斥事件， P{A∪B}=P{A}+P{B}
     则可称 P{A}为事件 A 的概率。上述三条称为概率公理。

2.条件概率：

设E为一试验，A和B为E中两事件，且 P(A)>0，
则称P(AB)/P(A)为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，
记作P(B|A)，即P(B|A)= P(AB)/P(A)

3.全概率公式：

• 定义：
• 设试验E的样本空间为Ω，事件A1,A2,……,An满足：
  1、两两互不相容
  2、 $\sum{Ai}$= Ω
  3、P(Ai)>0
  则称A1,A2,……,An 为 Ω 的一个划分(分割)
• 定理：
• 设 Ω为试验 E 的样本空间，A 为 E 的一个随机事件，
  B1,B2,……,Bn 为Ω的一个划分，且有 P(Bi)>0，则
  P(A)= $\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}$
  证明：P(A)= $\sum_{i=1}^{n}$P(AB_i)= $\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}$
• 推论：
  推论：设Ω为E的样本空间，A为E的事件，B1,B2,……,Bn互不
  相容，且P(Bi)>0， $\sum_{i=1}^{n}{B~i~ }$⊃A，则
  P(A)= $\sum_{i=1}^{n}{P(B~i~)P(A|B~i~)}$