欧几里得算法（辗转相除法）原理

 求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

核心代码：

gcd（int a,int b）

{
   return b?gcd(b,a%b):a;
}

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b (表示a,b 能够zhen整除d) r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数    (试想为什么写(b,a mod b ),而不写(a,a mod b )?) -------疑问1

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

答疑1  ：因为 a = kb + r,b 和 r 的公约数一定就是被a整除，也一定是(a,b)公约数。如果写成(a,a mod b )的话，不能保证r能被b

整除。

2 ？为什么终止条件是b=0?

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因为(a,b) 和（b,r）有共同的一样公约数，最大公约数就是r