使用蒙特卡洛技术解决一个小虫爬铁丝问题。

题目

如下图所示，在一个正方体的铁丝骨架上有只小虫在爬行。小虫从A点出发想要爬到G点，但是由于铁丝非常丝，而小虫又看不清楚路，所以小虫的爬行有两个特点：

• 从铁丝架上的一点到另一点时的过程中不会掉头返回。如从A点至B点，在到达B点前不会掉头；
• 在某一点向其他方向出发时，选择的方向完全是随机的。如在A点有BDE三个方向，每个方向选择的概率都是三分之一。

问题：小虫平均要经过几个点才能到达点G？

分析

如果直接使用数学计算，我们大概可以使用以下的公式进行计算：

$E_N = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum^{n}_{3} (\frac{1}{3})^nnp_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum^{n}_{3} \frac{n}{3^n}p_n$
其中， $E_N$ 表示平均步数的期望值， $n$表示步长， $p_n$表示步长为n 的组合。由于至少要3步才能到达G，所以 $n$的下限为3。由于每长一步，概率会变为原来的 $\frac{1}{3}$，所以系数为 $(\frac{1}{3})^3$。举例来说，当 $n = 3$时，系数为 $\frac{1}{27}$，而所有的组合有6种:[ABCG, ABFG, ADCG, ADHG, AEFG, AEHG]，所以步长为 $(\frac{1}{3})^3*3*8 = \frac{8}{9}$。

由于 由于 $p_n$ 是常数，而 $3^n$ 是比 $n$ 高阶的无穷大，所以极限收敛。所以结果只可以计算， $E_N$为一个定值。然而，由于无法进行每个n的组合的计算，所以很难使用数学方法进行直接云计算。因此，我们利用计算机的高速进行模拟，则可以得出大概次数。

算计设计

• 总体思路
  设计一个选择函数，模拟小虫的一次路径的选择，然后模拟一次小虫子走过的路径，最后进行大量的实验，再求出平均值。
• 具体实现
  首先，使用一个二维数组表示连接关系，使用0-7分别对应A-G，我们可以得到以下的二维数组。

	static int[][] directions = { 
			{ 1, 3, 4 }, 
			{ 0, 2, 5 }, 
			{ 1, 6, 3 },
			{ 0, 2, 7 }, 
			{ 0, 5, 7 }, 
			{ 1, 4, 6 },
			{ 2, 5, 7 }, 
			{ 3, 4, 6 } };

这样， directions[0] 表示所对应的一维数组在A点可以选择的三个方向为1，3，4，即A，D，E。以此类推，然后使用随机函数，从三个中选择一个即可。详细代码见附录。

测试

我们使用StringBuilder记录中间的过程，通过在主函数中调用 test(10) ，我们可以得到一个结果如下所示。

Steps: 15	Path: ADHEAEFEAEAEFEFG
Steps: 7	Path: ABABCDHG
Steps: 3	Path: ABFG
Steps: 25	Path: ABAEHDCBCBABADCDADHDHDHDHG
Steps: 3	Path: AEHG
Steps: 15	Path: ABABFEADCBFEHEFG
Steps: 7	Path: ABABFBCG
Steps: 5	Path: AEFBCG
Steps: 3	Path: AEFG
Steps: 3	Path: ABFG

结果与预期的一致。

结论

现在执行附录中的源代码中的主函数，可以得到最终结果。
Average steps: 10.0164
即，平均的步数是10步，去除A点和G点，平均要经过的点是8个。

附录：源代码

public class WormSimulation {
    // 方向选择数组
	static int[][] directions = { 
			{ 1, 3, 4 }, 
			{ 0, 2, 5 }, 
			{ 1, 6, 3 },
			{ 0, 2, 7 }, 
			{ 0, 5, 7 }, 
			{ 1, 4, 6 },
			{ 2, 5, 7 }, 
			{ 3, 4, 6 } };

	public static void main(String[] args) {
		int totalSteps = 0;   // 小虫总步长。
		int totalTimes = 10000; // 测试10000次。
		for(int i = 0; i < totalTimes; i++)
			totalSteps+= runOnce(); // 累加每次测试爬过的步数。
		System.out.println("Average steps: " + (1.0*totalSteps/totalTimes));
	}
	
	// 模拟一次小虫从A到G的过程，返回总用步长。
	static int runOnce() {
			int p = 0;
			int steps = 0;
			while (p != 6) {
				p = directions[p][(int) (Math.random() * 3)];
				steps++;
			}
			return steps; 
	}
	
	static void test(int times) {
		for (int i = 0; i < times; i++) {
			int p = 0;
			int steps = 0;
			StringBuilder sb = new StringBuilder();
			sb.append("A");
			while (p != 6) {
				p = directions[p][(int) (Math.random() * 3)];
				sb.append((char) (p + 65));
				steps++;
			}
			
			System.out.println("Steps: " + steps + "\tPath: " + sb.toString());
		}
	}
}